Инженерная олимпиада 2022, 10 класс, задача 5
С помощью квадратного плота плотности перевозят грузы. Точечный груз ставят на самый край плота, и плот занимает такое положение, что его противоположные края оказываются на поверхности воды (см. рисунок). Найти отношение высоты плота к его ширине (см. рисунок). Плотность воды известна. При любой ли плотности плота его можно расположить в воде так, как показано на рисунке (при некоторой массе тела)?
В равновесном положении, показанном на рисунке, сумма всех сил и сумма моментов всех сил, действующих на плот, равны нулю. На плот действуют: сила тяжести ( - масса плота, - его объем), сила Архимеда ( - плотность воды, - объем погруженной в воду части плота), сила со стороны тела . При заданном в условии положении плота плот погружен в воду ровно на половину своего объема. Поэтому первое условие равновесия дает
Используем теперь условие моментов. Будем вычислять моменты относительно центра плота. Тогда момент силы тяжести равен нулю.
Момент силы, действующий на плот со стороны груза, равен ( - расстояние от центра плота до его края; см. рисунок). Сила Архимеда приложена к центру тяжести погруженного в воду объема плота; а поскольку сечение погруженной части есть треугольник, то точка приложения силы Архимеда лежит в точке пересечения медиан этого треугольника. По свойству прямоугольного треугольника его медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому точка пересечения медиан лежит на расстоянии от центра плота. Так как угол между диагоналями прямоугольника вдвое больше угла между диагональю и стороной (см. рисунок), то плечо силы Архимеда относительно центра плота равно .
Поэтому условие моментов относительно центра плота дает
Приравнивая (*) и (**), получим
Так как
то из формулы (***) имеем
где . Отсюда находим
Проанализируем полученный результат. Поскольку (без груза плот погружен в воду менее, чем наполовину), то знаменатель положителен при любой плотности плота. Положительность числителя дает . При невыполнении этого неравенства плот не удастся расположить в воде так, как дано на рисунке в условии ни при какой массе груза. Поэтому ответ:
Использование правильной формулы для силы Архимеда – 0,5 балла.
Использование правильного уравнения моментов (с правильной точкой приложения силы Архимеда) – 0,5 балла.
Правильный ответ – 0,5 балла.
Анализ возможности для плота занять положение, показанное на рисунке в условии задачи – 0,5 балла.