Инженерная олимпиада 2026, 11 класс, задача 4
Стержни, имеющие длины и и массы и соответственно, соединены шарниром. Короткий стержень подвешен шарнирно к потолку, а длинный опирается на точечную опору, расположенную на расстоянии от точки крепления короткого стержня к потолку на одной с ней горизонтали. Найти угол, который составляет длинный стержень с горизонталью в равновесии. Трением пренебречь.
Ответ
Решение.
Будем положение равновесия стержней из условия минимума потенциальной энергии этой системы стержней. Пусть, угол наклона длинного стержня к горизонтали равен (см. рисунок). Поскольку треугольник ABC равнобедренный (по условию короткий стержень и и расстояние AC одинаковы), что угол наклона короткого стержня к вертикали () равен
Потенциальную энергию системы стержней найдем как сумму потенциальных энергий каждого стержня, а последние - как потенциальные энергии материальных точек массой и , расположенных в центрах масс стержней (т.е. посередине). Начало отсчета потенциальной энергии выберем в точке шарнира, к которому подвешен короткий стержень. Тогда потенциальная энергия короткого стержня есть
Середина второго стержня находится ниже шарнира, к которому крепится короткий стержень, на расстоянии . Поэтому потенциальная энергия длинного стержня равна
Отсюда находим потенциальную энергию системы стержней
Для нахождения минимума дифференцируем и приравниваем производную к нулю
Раскрывая косинус двойного угла и используя основное тригонометрическое тождество, получим квадратное уравнение относительно
Отсюда
(второй корень квадратного уравнения является отрицательным, а искомый угол - острый).