Инженерная олимпиада 2023, 10 класс, задача 4
Для предотвращения столкновений судов с землей в ночное время суток на берегу моря ставят маяки, которые должны предупредить корабли об опасном приближении к суше. Наиболее эффективно такие маяки работают, если они дают прерывистый световой сигнал. Рассмотрите следующую модель источника света для такого маяка. Неподвижный точечный источник света находится на расстоянии см от зеркала АВ (см. рисунок). Зеркало вращается с угловой скоростью рад/с вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через середину зеркала (через точку на рисунке). Найти скорость и ускорение изображения источника в зеркале.
Ответ
Определим характер движения изображения. Построение старого () и нового (; после поворота зеркала на угол ) изображения источника выполнено на рисунке. Очевидно угол - прямой.
Действительно, треугольники и подобны, так как у них общий угол , а стороны, примыкающие к этому углу пропорциональны с коэффициентом подобия 2 (поскольку расстояние от источника до изображения вдвое больше расстояния от источника до зеркала):
А поскольку угол - прямой (изображение источника лежит на продолжении перпендикуляра, опущенного из источника на зеркало), то прямым является и угол . Причем независимо от угла поворота зеркала. Это значит, что изображение источника движется по такой кривой, что угол все время остается прямым. Отсюда следует, что изображение источника движется по окружности, для которой отрезок является диаметром. А потому радиус этой окружности равен расстоянию от источника до оси вращения зеркала, т.е. . Эта окружность показана на рисунке справа.
Найдем теперь угловую скорость вращения изображения. Пусть зеркало повернулось на угол . Тогда (поскольку траектория движения изображения - окружность) и (эти углы отмечены на рисунке). Поэтому , и, следовательно, изображение вращается с постоянной угловой скоростью , которая вдвое больше угловой скорости зеркала
Поэтому скорость изображения источника постоянна (т.к. не зависит от угла поворота зеркала ) и равна
Поскольку изображение движется по окружности с постоянной по величине скоростью, его ускорение - центростремительное. Оно равно