Инженерная олимпиада 2026, 11 класс, задача 1
Концы двух невесомых стержней одинаковой длины скреплены точечным шарниром имеющим массу . На вторые концы стержней прикреплены на точечные тела с массами и , Стержни расположили на гладкой горизонтальной поверхности так, как показано на рисунке, а потом отпустили. Известно, что тело массой упадет справа от шарнира. На каком расстоянии от начального положения шарнира на поверхность упадет тело массой и с какой скоростью? Трение отсутствует.
Решение.
Поскольку на систему тел и стержней действуют только силы, направленные вертикально, центр масс системы не может изменить горизонтальную проекцию своей скорости. А поскольку вначале она равнялась нулю, то и в момент падения центр масс системы будет перемещаться только по вертикали. Поэтому в момент падения шарика массой на поверхность он будет двигаться только по вертикали (в случае его горизонтального движения центр масс двигался бы по горизонтали), т.е. шарик массой и шарнир массой будут покоится, а шарик массой будет двигаться вертикально вниз. Его скорость находим из закона сохранения энергии
Найдем теперь место, где упал шарик массой . Для этого найдем положения центра масс в начальный момент времени. Поскольку нашу систему можно представить как наложение двух симметричных гантелек с массами и (см. рисунок), то центр масс этой системы будет лежать на прямой, соединяющей центры стержней. Т.е. на прямой, расположенной под углом к поверхности, на вдвое более близком расстоянии к середине горизонтального стержня, чем к середине вертикального (на левом рисунке эта точка отмечена буквой ). И, значит, по горизонтали центр тяжести находится левее шарнира на расстоянии
где - длина стержня. Или
После падения шарика массой на поверхность центр масс системы будет также находиться на прямой, проходящей через центры стержней, вдвое ближе к середине левого стержня (см. правый рисунок; чтобы на загромождать его мы сдвинули положение центра масс вверх). Поэтому центр масс будет находиться левее шарнира на расстоянии
А поскольку горизонтальная координата центра масс в процессе падения не изменится, это означает, что шарнир сдвинется влево на расстояние
А поскольку расстояние от места падения шарика до нового положения шарнира равно , то шарик упадет в точке, лежащей на расстоянии
правее старого положения шарнира.
Обоснование, что центр масс будет двигаться только по вертикали
Правильные скорости шарика массы и шарнира в момент падения
Правильный ответ для скорости шарика массой в момент падения
Правильно найдена горизонтальная координата центра масс в начальном и конечном положении (по отношению к шарикам или шарниру)
Правильный ответ для расстояния между упавшим шариком массой и начальным положении шарнира