Инженерная олимпиада 2024, 11 класс, задача 6
Кривошипно-ползунный механизм состоит из кривошипа - невесомого стержня длиной , который может вращаться вокруг оси , шатуна - невесомого стержня такой же длины , шарнирно связанного с кривошипом, и ползуна массой - точечного тела, которое шарнирно связано с шатуном и может без трения двигаться в горизонтальных направляющих (см. рисунок). Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью в вертикальной плоскости вокруг оси под действием приложенного к нему момента внешней силы. Найти момент внешней силы, когда угол между кривошипом и направляющими равен .
Решение.
Поскольку кривошип невесомый, сумма моментов всех действующих на него сил относительно шарнира равна нулю. Поэтому момент внешних сил должен уравновешиваться моментом силы натяжения шатуна , которую можно найти из второго закона Ньютона для ползуна. Реализуем этот план.
На ползун действуют: сила тяжести, сила реакции направляющих (направленная перпендикулярно направляющим, поскольку они гладкие) и сила натяжения шатуна, которая направлена вдоль шатуна (последнее связано с тем, что поскольку шатун невесомый, суммы всех действующих на него сил и их моментов, равны нулю). Поэтому второй закон Ньютона для ползуна дает
или в проекции на ось, направленную вдоль направляющих,
Ускорение ползуна найдем кинематически. Так как шатун нерастяжим, проекции скоростей его концов на сам шатун одинаковы. Скорость шарнира (принадлежащего и шатуну, и вращающемуся кривошипу) направлена перпендикулярно кривошипу . Поэтому проекция скорости кривошипа на шатун равна
Проекция скорости ползуна на шатун равна . Отсюда
В результате находим скорость ползуна в тот момент времени, когда угол между шатуном и горизонтом равен :
Ускорение ползуна найдем, дифференцируя предыдущую формулу по времени:
Поэтому из второго закона Ньютона (3) для шатуна получаем
Теперь из равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на кривошип, получаем
Правильная идея решения: из-за постоянства угловой скорости кривошипа сумма моментов всех сил, действующих на кривошип, относительно шарнира равна нулю
Правильно найдена скорость ползуна как функция угла между кривошипом и горизонтом
Правильно найдено ускорение ползуна как функция угла между кривошипом и горизонтом
Правильно найдена сила натяжения ползуна как функция угла между кривошипом и горизонтом
Правильный ответ