Инженерная олимпиада 2026, 9 класс, задача 4
Известно, что скорость вытекания воды через маленькое отверстие из сосуда с открытой в атмосферу поверхностью равна , где - высота уровня воды в сосуде. А как зависит от высоты уровня воды в сосуде скорость ее вытекания через маленькую дырочку, в сосуде Мариотта, который показан на рисунке? Сосуд Мариотта плотно закрыт резиновой пробкой, в которую герметично вставлена трубка, одним концом опущенная в воду, вторым, выходящая в атмосферу. Все геометрические параметры сосуда и воды в нем даны на рисунке.
Ответ
Решение.
Данная в условии задачи зависимость скорости вытекания воды из отверстия в сосуде от уровня воды в сосуде связана с гидростатическим давлением, которое растет с ростом высоты столба воды.
А если бы при вытекании давление воды около отверстия не изменялось бы? Тогда мы должны предположить, что скорость не изменялась бы (это можно строго доказать из закона Бернулли).
Рассмотрим теперь данный в условии сосуд Мариотта.
Так как в трубке (до одного ее нижнего конца) находится атмосферный воздух, то давление воздуха в трубке равно атмосферному. А значит, давление в воде в сосуде на уровне нижнего конца трубки равно атмосферному независимо от высоты уровня воды над нижним концом трубки. Значит, давление воды на уровне отверстия равно
где - расстояние от нижнего конца трубки до отверстия. Следовательно, давление воды на уровне отверстия не зависит от уровня воды над нижним концом трубки, и вода будет вытекать из отверстия с постоянной скоростью
Но когда нижний конец трубки будет находиться в воде, пока нижний конец трубки находится в воде, скорость вытекания воды из сосуда постоянна и равна величине (*). После того как вся жидкость ниже уровня нижнего конца трубки, внутрь сосуда через отверстие попадает атмосферный воздух, и сосуд с этого момента становится аналогом открытого. Поэтому для скорости вытекания воды будет справедлива обычная формула Торричелли
Таким образом, для скорости вытекания окончательно имеем