Инженерная олимпиада 2026, 9 класс, задача 4
Известно, что скорость вытекания воды через маленькое отверстие из сосуда с открытой в атмосферу поверхностью равна , где - высота уровня воды в сосуде. А как зависит от высоты уровня воды в сосуде скорость ее вытекания через маленькую дырочку, в сосуде Мариотта, который показан на рисунке? Сосуд Мариотта плотно закрыт резиновой пробкой, в которую герметично вставлена трубка, одним концом опущенная в воду, вторым, выходящая в атмосферу. Все геометрические параметры сосуда и воды в нем даны на рисунке.
Решение.
Данная в условии задачи зависимость скорости вытекания воды из отверстия в сосуде от уровня воды в сосуде связана с гидростатическим давлением, которое растет с ростом высоты столба воды.
А если бы при вытекании давление воды около отверстия не изменялось бы? Тогда мы должны предположить, что скорость не изменялась бы (это можно строго доказать из закона Бернулли).
Рассмотрим теперь данный в условии сосуд Мариотта.
Так как в трубке (до одного ее нижнего конца) находится атмосферный воздух, то давление воздуха в трубке равно атмосферному. А значит, давление в воде в сосуде на уровне нижнего конца трубки равно атмосферному независимо от высоты уровня воды над нижним концом трубки. Значит, давление воды на уровне отверстия равно
где - расстояние от нижнего конца трубки до отверстия. Следовательно, давление воды на уровне отверстия не зависит от уровня воды над нижним концом трубки, и вода будет вытекать из отверстия с постоянной скоростью
Но когда нижний конец трубки будет находиться в воде, пока нижний конец трубки находится в воде, скорость вытекания воды из сосуда постоянна и равна величине (*). После того как вся жидкость ниже уровня нижнего конца трубки, внутрь сосуда через отверстие попадает атмосферный воздух, и сосуд с этого момента становится аналогом открытого. Поэтому для скорости вытекания воды будет справедлива обычная формула Торричелли
Таким образом, для скорости вытекания окончательно имеем
Понимание того, что скорость вытекания определяется гидростатическим давлением
Правильное понимание, что давление воды в сосуде Мариотта на уровне нижнего конца трубки равно атмосферному давлению
Правильный вывод, что давление в сосуде на уровне отверстия (пока нижний конец трубки находится в воде) равно и не зависит от уровня воды
Правильный ответ для скорости вытекания, пока нижний конец трубки находится в воде
Правильный ответ для скорости вытекания, когда уровень воды будет ниже нижнего конца трубки