Робофест 2026, Отбор, 11 класс, задача 4
Две одинаковых по форме призмы, сечением которых является равнобедренный треугольник с углом при основании , изготовлены из разных специальных стекол: у первой показатель преломления , а у второй — . Лазерный луч (который можно считать узким пучком параллельных световых лучей) падает из воздуха нормально на поверхности этих призм, как показано на рисунке.
Вещество призмы считайте полностью прозрачным (то есть поглощением энергии света можно пренебречь). Кроме того, при анализе хода лучей считайте, что при падении луча на любую поверхность призмы с углом, меньшим угла полного внутреннего отражения, интенсивность отраженного луча заметно меньше интенсивности падающего, и при третьем таком отражении существованием отраженного луча можно пренебречь.
1. Какое количество лучей выйдет наружу из первой призмы?
2. Какое количество лучей выйдет наружу из второй призмы?
3. На каком ненулевом расстоянии от точки входа выйдет из призмы луч на оси пучка, развернувшийся на по отношению к падающему? Длина основания призмы равна . Ответ запишите в с точностью до целого значения.
Ответы: 1. 3. 2. 2. 3. 6.
Возможное решение: Начнем с того, что определим для заданных величин показателя преломления углы полного внутреннего отражения:
Выполнив построение хода лучей в призмах, мы обнаруживаем, что для первой призмы углы падения в точках (), () и () меньше угла полного внутреннего отражения, и в этих точках есть преломленные лучи, выходящие из призмы наружу. В точке угол падения () больше угла полного внутреннего отражения, и в ней преломленного луча нет.
Отражение в точке является уже третьим «неполным» отражением, и мы (согласно условию) пренебрегаем интенсивностью отраженного луча, и цепочка отражений прерывается — других вышедших из призмы лучей уже не будет. Итак, из первой призмы выйдут наружу луча.
Во второй призме происходят три полных внутренних отражения (углы падения в точках и равны , а в точке — ), а затем в точке луч падает нормально. Преломленных лучей в точках , и нет, а в точке есть отраженный луч небольшой интенсивности, который возвращается по тому же пути, снова испытывая три полных внутренних отражения и выходит в точке падения. Там тоже есть отраженный луч, и он (после еще трех полных отражений) выйдет снова в точке , и только теперь происходит третье «неполное» отражение, после которого мы считаем интенсивность отраженного луча пренебрежимо малой. Но всего в случае второй призмы мы увидим два вышедших луча, и у обоих угол поворота от направления падающего луча равен .
Ненулевое смещение у луча, выходящего из точки . Его можно найти следующим образом: пусть расстояние от точки до точки входа луча равно . Тогда, с учетом того, что треугольник равнобедренный (у него одинаковые углы при основании), найдем, что расстояние от точки входа до тоже равно . Поэтому
И, поскольку треугольник тоже равнобедренный, то точка выхода находится на расстоянии
от точки . Итак, искомое смещение
Отметим, что это расстояние не зависит от !
— баллов; или — балла.
— баллов; — балла.
— баллов; или — балл.