Робофест 2022, Отбор, 10–11 класс, задача 4
Двигатели звездолета, управляемые в автоматическом режиме, поддерживают его движение с постоянной скоростью км/с по прямой. Обзорные фотодатчики расположены так, что оси их входных отверстий ориентированы перпендикулярно курсу звездолета (размеры отверстий неизменны). Ток фотодатчика пропорционален мощности световой энергии, поступающей во входное отверстие датчика. При превышении тока мА показания датчика каждые с записываются в память компьютера, пока ток не упадет ниже мА. Звездолет пролетел мимо одиночной яркой звезды. В таблице показаны записанные значения тока фотодатчика, для которого эта звезда оказалась в плоскости движения оси его входного отверстия (время отсчитывается от момента первой записи, ошибки измерения времени не превышают с, а силы тока — мА).
| , с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| , мА | 13,78 | 31,42 | 75,70 | 121,97 | 78,15 | 32,55 | 14,20 | 7,03 | 3,89 | 2,36 | 1,54 | 1,04 |
-
Определите на основании этих данных минимальное расстояние от траектории корабля до центра этой звезды. Излучение звезды считать сферически-симметричным (то есть считать, что мощность светового излучения, приходящаяся на единицу площади концентрически окружающей ее сферы, не зависит от направления), поглощением и рассеянием света в космическом пространстве в окрестности звезды пренебречь. Ответ запишите в миллионах км, с точностью до целого значения.
-
Оцените максимальную возможную ошибку в определении этого расстояния. Ответ запишите в процентах, с точностью до первого ненулевого разряда.
Возможное решение. Начнем с того, что разберемся, как показания фотодатчика должны зависеть от времени. Ясно, что максимальная мощность световой энергии поступает в окно датчика, когда корабль проходит ближайшую к звезде точку своей траектории — в этот момент расстояние между звездой и кораблем минимально и окно датчика «смотрит» точно на звезду.
Так как изучение звезды сферически симметрично, а площадь сферы растет пропорционально квадрату ее радиуса, то мощность ее излучения на расстоянии от звезды
где — кратчайшее расстояние от звезды до траектории корабля. Однако нужно еще учесть, что при смещении корабля от точки наибольшего сближения окно фотодатчика «смотрит» не на звезду. При повороте окна датчика на угол от направления на звезду площадь, с которой в окно попадают лучи, уменьшается по закону . С другой стороны,
Поэтому ток фотодатчика должен зависеть от расстояния от корабля до звезды по закону
Зависимость расстояния от времени, в соответствии с теоремой Пифагора и законом равномерного движения,
где соответствует моменту прохождения точки наибольшего сближения. Итак,
Его можно переписать в виде
По таблице точка наибольшего сближения находится вблизи момента с. Для значений при мА и с среднее значение дает
Разброс значений относительно среднего указывает на погрешность используемой модели; максимальная возможная ошибка получается порядка от до .
Ответы: 1. . 2. от до .
— баллов; или — балла.
От до — балла.