Нелинейный элемент и конденсатор
Рассмотрим нелинейный элемент (рис. 5) такой, что при протекании через него тока в направлении от к зависимость напряжения от силы тока описывается формулой
где и .
Если сила тока, текущего через элемент, равна нулю, то напряжение на нём может принимать любые значения. В противоположном направлении электрический ток протекать не может. На рисунке 6 качественно представлена ВАХ нелинейного элемента.
В данной задаче рассматриваются две электрические цепи, содержащие данный нелинейный элемент.
Часть 1. Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке 7, состоит из источника постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, резистора с сопротивлением и нелинейного элемента с известными параметрами и .
1. При каких значениях напряжения источника в цепи может протекать постоянный электрический ток?
Часть 2. Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке 8, состоит из источника постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, резистора с сопротивлением , конденсатора ёмкостью и нелинейного элемента, для которого .
Изначально конденсатор не заряжен. Затем в результате кратковременного внешнего воздействия в цепи начинает протекать электрический ток. На рисунке 9 ниже (и на отдельном листе в увеличенном масштабе) представлен график зависимости напряжения на конденсаторе от силы тока в цепи .
Точка 1 соответствует моменту времени начала протекания тока, точка 2 — достижению максимального напряжения на конденсаторе, а пунктирная линия — прекращению протекания в цепи электрического тока.
2. Найдите , и .
3. Найдите количество теплоты , выделившееся на резисторе за все время протекания тока в цепи.
4. Определите время , в течение которого в цепи протекал ток.
Решение.
Из второго закона Кирхгофа для цепи следует:
откуда:
Для существования корней квадратного уравнения его дискриминант должен быть неотрицательным. Учитывая, что , получим:
Из второго закона Кирхгофа для цепи получим:
откуда:
Пусть — сила тока в цепи в точке 1. Тогда:
Пусть — максимальное напряжение на конденсаторе, а — соответствующая ему сила тока в цепи. Максимум напряжения на конденсаторе соответствует минимуму выражения , достигающемуся при равенстве слагаемых, т.е.
Для находим:
Подставив в уравнение относительно , получим:
Выражая из уравнения относительно :
Получим ответы:
Перейдём к количеству теплоты, выделившемуся на резисторе. За малый промежуток времени :
где — площадь под графиком в процессе зарядки конденсатора.
Первое решение.
Найдём непосредственным вычислением, проведя касательную к графику в точке , а затем из площади трапеции вычтем площадь области между касательной и графиком. Получим:
откуда:
Второе решение.
Данный результат может быть получен аналитически. Для этого заметим, что:
Подставим зависимость в подынтегральное выражение и получим:
Интегрируя, находим:
Первое решение.
Запишем закон сохранения энергии в системе:
где и — количества теплоты, выделившиеся на резисторе и нелинейном элементе соответственно. Работа источника и энергия конденсатора равны соответственно:
Рассмотрим малый промежуток времени . За это время на нелинейном элементе выделилось количество теплоты , равное:
Окончательно получим:
Основная погрешность результата связана с определением графическим способом.
Второе решение.
Время можно также найти из дифференциального уравнения процесса зарядки конденсатора. Решая квадратное уравнение относительно получим:
Графику зависимости соответствует корень со знаком . Введём переменную
Тогда:
Рассмотрим процесс зарядки конденсатора:
откуда:
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
С учётом выражения для , получим выражение для :
Сразу вычислим первый интеграл:
Для вычисления второго интеграла введём переменную
и получим:
Рассматриваемый интеграл является табличным и равен:
откуда:
Для окончательно имеем:
Получено квадратное уравнение относительно силы тока :
Указано, что дискриминант квадратного уравнения неотрицателен
Указано, что , поскольку
Найдены все значения , при которых в цепи протекает электрический ток:
Получена зависимость напряжения конденсатора от силы тока :
Получено уравнение относительно для момента начала тока:
Получено выражение для силы тока , соответствующей максимальному напряжению на конденсаторе :
Получено выражение для :
Получено выражение для выделившегося на резисторе количества теплоты :
Формула для преобразована к виду:
Выражение для через известные величины:
Получено численное значение :
Записан закон изменения энергии в системе:
Получено выражение для работы источника:
Получено выражение для энергии конденсатора:
Получено выражение для количества теплоты , выделившегося на нелинейном элементе:
Получено выражение для времени протекания электрического тока в цепи:
Решено квадратное уравнение относительно :
Выбор корня со знаком
Получена связь промежутка времени и изменения напряжения на конденсаторе :
Получено выражение для :
Получена формула для через известные величины:
Найдено численное значение :