ВсОШ 2023, Муницип, 10 класс, задачи 18–20

Два маленьких шарика расположены на противоположных концах лёгкого жёсткого стержня. Стержень закреплён на фиксированной горизонтальной оси, которая проходит перпендикулярно стержню. Шарики удерживают строго один над другим. Стержень с шариками может вращаться в вертикальной плоскости вокруг этой оси. Ускорение свободного падения равно . Трение отсутствует.

Пусть масса нижнего шарика равна , верхнего шарика — , длина стержня , а ось вращения расположена посередине стержня. Систему отпускают без начальной скорости.

1. Определите максимальное значение модуля скорости верхнего шарика в процессе движения. Ответ выразите в , округлите до десятых долей.

2. При какой длине стержня максимальная скорость движения нижнего шарика в процессе движения равнялась бы ? Ответ выразите в , округлите до целого числа.

Пусть теперь масса каждого шарика равна , а ось вращения стержня расположена на расстоянии от верхнего шарика и на расстоянии от нижнего. Стержень снова приводят в вертикальное положение и лёгким толчком систему приводят в движение.

3. Определите максимальную угловую скорость системы. Ответ выразите в , округлите до десятых долей.