Росатом 2026, 11 класс, задача 4
На горизонтальной поверхности шарнирно закреплен стержень длиной . Стержень опирается на полушар радиуса , который двигают со скоростью в направлении шарнира (см. рисунок). Найти скорость и ускорение конца стержня в тот момент, когда угол между стержнем и поверхностью равен .
Ответ
Решение.
Пусть расстояние от центра полушара до шарнира в некоторый момент, условно взятый за начальный, равно . И пусть после этого момента прошло время . Тогда расстояние от центра полушара до шарнира будет равно . А поскольку треугольник в любой момент времени прямоугольный (см. рисунок), для синуса угла наклона стержня к поверхности имеем
Дифференцируя правую и левую часть этой формулы по времени, получим
Отсюда находим угловую скорость вращения стержня
а затем и линейную скорость его конца в тот момент времени, когда угол между стержнем и поверхностью равен
Найдем теперь ускорение конца стержня. Поскольку стержень вращается с переменной угловой скоростью (т.к. угол меняется), у него есть как нормальное, так и тангенциальное ускорение. Нормальное ускорение конца стержня в рассматриваемый момент есть
Тангенциальное ускорение конца стержня найдем, дифференцируя модуль скорости конца стержня по времени
Используя теперь производную , получим
Поэтому ускорение конца стержня есть
Для имеем
Другой способ решения. Формулу для угловой скорости стержня можно получить и по-другому, без дифференцирования.
Рассмотрим положение стержня, когда угол между ним и горизонтальной поверхностью равен . Пусть после этого проходит малый интервал времени . Найдем угол поворота стержня за указанный интервал времени. Проще всего это сделать в системе отсчета, связанной с полушаром - в ней полушар покоится, а к нему со скоростью приближается шарнир с прикрепленным к нему стержнем (см. рисунок; положение стержня спустя интервал времени показано более светлым). Так как и в новом, и в старом положениях стержень является касательным к полушару, угол между радиусами полушара, проведенными в точки касания стержня ( и на рисунке), также равен . Поэтому из-за малости угла точки и практически совпадают.
Опустим в треугольнике перпендикуляр . Из-за малости угла треугольник практически равнобедренный, с боковой стороной = . Из прямоугольного треугольника находим
Поэтому для угла получаем
В системе отсчета, связанной с землей, стержень только вращается, и его угловая скорость есть
т.е. тот же самый результат, что и при первом способе решения. Поэтому и все остальное будет таким же.