Росатом 2022, 11 класс, задача 2
Из проволоки сделали кольцо радиуса , расположили в вертикальной плоскости и закрепили в таком положении. К верхней точке кольца прикреплен один конец невесомой пружины. Второй конец пружины прикреплен к массивной бусинке, которая может без трения скользить по кольцу. Если поместить бусинку в нижнюю точку кольца (см. рисунок), она давит на кольцо с силой вдвое превышающей силу ее притяжения к земле. Из-за небольшого смещения бусинка начинает скользить по кольцу, причем ее скорость достигает максимума, когда она проходит по кольцу шестую часть его полной длины. Найти длину пружины в недеформированном состоянии.
Решение.
Пусть коэффициент жесткости пружины равен , длина в недеформированном состоянии . Очевидно, в начальном положении растянута, и сила упругости равна (чтобы обеспечить давление бусинки на кольцо с силой, вдвое превышающей ее силу тяжести). Поэтому
С другой стороны, движение бусинки вдоль кольца определяется составляющими сил упругости и тяжести, направленными вдоль касательной к кольцу, причем вначале составляющая силы упругости разгоняет, а составляющая силы тяжести - тормозит движение бусинки. Поэтому скорость движения бусинки по кольцу достигнет максимума, когда составляющая силы упругости сравняется с составляющей силы тяжести (см. рисунок). По условию это произойдет, когда бусинка пройдет третью часть полукольца, т.е. направление на бусинку составит угол с вертикалью (см. рисунок). Находя соответствующие проекции, получим для этого положения
причем длина пружины в этом положении будет равна . Поэтому условие максимальности скорости бусинки дает
Деля уравнение (1) на уравнение (2) и решая полученное уравнение, найдем длину пружины в недеформированном состоянии :
Правильно использован закон Гука
Правильно найдена (из сравнения проекций сил упругости и тяжести или по закону сохра- нения энергии) точка кольца, где скорость бусинки максимальна
Правильное условие максимальности скорости бусинки
Правильный ответ