Росатом 2023, 10 класс, задача 4
Четыре стержня одинаковой длины с массами , , и соединили шарнирно. Затем вершины, в которых скреплены два стержня массой и два стержня массой , соединили нерастяжимой веревкой такой длины, что конструкция из стержней представляет собой квадрат (см. рисунок). Квадрат подвесили на веревке к потолку за вершину, в которой скреплены два стержня массой (см. рисунок). Найти силу натяжения веревки, соединяющей вершины квадрата.
Ответ
Решение.
Рассмотрим условия равновесия стержней. Пусть сила , действующая со стороны верхнего стержня на нижний, направлена под углом к нижнему стержню (см. нижний рисунок). Тогда условие моментов для нижнего стержня относительно его нижней точки дает
( - длина стержня). Для верхнего стержня условие моментов относительно его верхней точки (см. верхний рисунок) дает
Деля эти равенства друг на друга, получим
Подставляя значения тригонометрических функций угла в условие равновесия верхнего или нижнего стержня, найдем
Рассмотрим теперь условие равновесия (условие сил) для двух нижних стержней. На них действуют: сила тяжести , искомая сила натяжения веревки , и две силы в шарнирах. Поэтому условие равновесия дает