Росатом 2022, 9 класс, задача 3
Куски невесомой нерастяжимой нити связывают три невесомых пружины с коэффициентами жесткости , и . Концы веревки прикреплены к горизонтальному потолку, а сама она охватывает невесомый подвижный блок так, как показано на рисунке. Куски веревки от потолка до блока вертикальны. В некоторый момент времени блок начинают тянуть вниз с постоянной скоростью . С какой скоростью движется точка (см. рисунок)? Какой силой нужно действовать на блок через время после начала движения? Считать, что для любых растяжений пружин справедлив закон Гука.
Решение.
Пусть, начиная с некоторого момента времени, проходит малый интервал времени . Поскольку блок движется с постоянной скоростью, он за этот интервал времени блок перемещается вниз на величину . Тогда пружины за этот интервал времени должны в сумме растянуться на величину . С другой стороны, сила натяжения нити в каждом ее сечении одинакова, поэтому пружины растягиваются одинаковой силой и, следовательно, их удлинения обратно пропорциональны коэффициентам жесткости. Это значит, что если пружина с коэффициентом жесткости растянулась на , то пружина растянулась на , пружина растянулась на . Поэтому
Отсюда находим
С другой стороны, перемещение точки за рассматриваемый интервал времени равно суммарному удлинению пружин с коэффициентом жесткости и , т.е.
Поэтому
поскольку эта скорость не зависит от времени (или положения блока) она постоянна в процессе движения блока.
Поскольку блок движется равномерно, то сила, с которой нужно действовать на него через время после начала движения, равна удвоенной силе натяжения нити в этот момент, которая равна силе упругости пружин. За время после начала движения блок переместился на величину , а пружина с коэффициентом жесткости растянулась на величину
(ср. с формулой (1)). Поэтому сила упругости этой пружины будет равна
Следовательно, сила, с которой нужно действовать на блок, равна
Правильная идея нахождения скорости точки – кинематические связи перемещения блока и точки
Правильная динамическая связь растяжения разных пружин - одинаковая сила упругости каждой -
Правильный ответ для скорости точки
Правильный ответ для силы, с корой нужно действовать на блок