Росатом 2026, 9 класс, задача 4
К концам невесомого рычага, длины плеч которого относятся как прикреплены два точечных тела массами и (см. рисунок). Вначале стержень удерживают горизонтально, а в некоторый момент отпускают. Найти ускорения тел сразу после этого. Найти также силу реакции опоры рычага сразу после его отпускания.
Решение.
На тела действуют силы тяжести и силы реакции рычага, которые в первый момент после отпускания направлены вертикально вверх (см. рисунок). Поэтому второй закон Ньютона для тел в проекции на ось, направленную вертикально вниз, дает
где и - модули ускорений тел. Здесь учтено, что поскольку левое плечо в два раза меньше правого, а левое тело в три раза тяжелее правого, то рычаг будет вращаться против часовой стрелки (см. рисунок), и ускорение левого тела будет направлено вниз, а правого вверх.
Установим теперь условия связи сил реакции и ускорений тел. Поскольку рычаг - безмассовый, сумма моментов всех сил, действующих на него должна равняться нулю. Поэтому
Пусть сразу после отпускания левое тело пройдет расстояние . Тогда правое (из-за того, что в раза больше плечо) - . Поэтому скорость правого тела в любой момент в раза больше скорости левого, и, следовательно, такой же является и связь ускорений
С учетом этих условий связи второй закон Ньютона для тел дает
Решая эту систему уравнений, получим
Силу реакции опоры рычага можно найти следующим образом. Так как рычаг - безмассовый, сумма сил, действующих на него должна равняться нулю. Поэтому
Ответ. , , .
Правильно расставлены силы, действующие на тела
Правильные условия связи ускорений (с обоснованием)
Правильные условия связи сил реакции
Правильный ответ для ускорений тел
Правильный ответ для силы реакции опоры рычага