Росатом 2025, 11 класс, задача 2
Через невесомый блок, прикрепленный к потолку, переброшена невесомая и нерастяжимая нить. К одному концу нити прикреплен груз некоторой массы . На второй конец нити с натягом надето кольцо массой , благодаря чему между кольцом и нитью действует сила трения, максимальное значение которой равно . В каких пределах должна лежать масса груза, чтобы кольцо не скользило по нити? Какой должна быть максимальная сила трения между кольцом и нитью, чтобы проскальзывание не возникало ни при каких значениях ?
Решение.
При движении системы грузов на нить со стороны груза действует определенная сила и натягивает ее. Поскольку нить невесома, то сумма сил, действующих на нее должна равняться нулю, и, следовательно, кольцо должно действовать на нить такой же силой. Но сила взаимодействия кольца и нити - это сила трения, которая не может превосходить максимальную силу трения покоя . Таким образом, сила натяжения нити не может превосходить , и в случае, если , кольцо не будет скользить по нити, и груз и кольцо будут двигаться так же, как два тела, связанные нитью на блоке.
Отсюда следует способ решения - рассмотреть малые значения массы груза , при которых заведомо не будет скольжения кольца по нити, и груз и кольцо будут иметь одинаковые по величине ускорения. В этом случае найти силу натяжения нити, и исследовать ее поведение при изменении массы груза - если при каких-то ее значениях сила натяжения сравняется с величиной , возникнет проскальзывание кольца по нити. Реализуем этот план.
При условии, что кольцо не скользит по нити, ускорения груза и кольца одинаковы по величине. В этом случае второй закон Ньютона для груза и кольца в проекциях на оси, направленную вниз для груза и вверх для кольца, имеет вид
где - проекция ускорения тел на эти оси, - сила натяжения нити. Отсюда находим силу натяжения
Из этой формулы следует, что при малых сила натяжения мала и проскальзывания не возникает. Но с ростом массы груза сила натяжения растет и если
возникает проскальзывание между кольцом и нитью. Поэтому проскальзывание не будет возникать, если
Из формулы (*) следует также, что максимальная сила натяжения нити достигается при , и она равна
Следовательно, если максимальное значение силы трения между нитью и кольцом будет больше, чем , проскальзывание не возникнет ни при какой массе груза.
Примечание. Возможно решение, в котором в качестве основы решения рассматриваются большие массы груза, при которых заведомо существует скольжение. В этом случае сила натяжения равна максимальной силе трения, а ускорения кольца и груза - разные. Можно найти эти ускорения и увидеть, что при уменьшении массы груза при некотором ее значении эти ускорения совпадут. Если такой способ решения привел к правильным ответам, то он оценивается полным баллом.
Правильная идея решения: сила натяжения нити должна быть меньше максимальной силы трения между кольцом и нитью.
Правильные уравнения второго закона Ньютона для тел при условии, что нет скольжения кольца по нити.
Правильно найдена сила натяжения нити.
Правильный ответ для масс груза, при которых не будет скольжения между кольцом и нитью.
Правильный ответ для силы трения, при котором не будет скольжения при любых массах груза.