Росатом 2025, 11 класс, задача 2
Через невесомый блок, прикрепленный к потолку, переброшена невесомая и нерастяжимая нить. К одному концу нити прикреплен груз некоторой массы . На второй конец нити с натягом надето кольцо массой , благодаря чему между кольцом и нитью действует сила трения, максимальное значение которой равно . В каких пределах должна лежать масса груза, чтобы кольцо не скользило по нити? Какой должна быть максимальная сила трения между кольцом и нитью, чтобы проскальзывание не возникало ни при каких значениях ?
Ответ
Решение.
При движении системы грузов на нить со стороны груза действует определенная сила и натягивает ее. Поскольку нить невесома, то сумма сил, действующих на нее должна равняться нулю, и, следовательно, кольцо должно действовать на нить такой же силой. Но сила взаимодействия кольца и нити - это сила трения, которая не может превосходить максимальную силу трения покоя . Таким образом, сила натяжения нити не может превосходить , и в случае, если , кольцо не будет скользить по нити, и груз и кольцо будут двигаться так же, как два тела, связанные нитью на блоке.
Отсюда следует способ решения - рассмотреть малые значения массы груза , при которых заведомо не будет скольжения кольца по нити, и груз и кольцо будут иметь одинаковые по величине ускорения. В этом случае найти силу натяжения нити, и исследовать ее поведение при изменении массы груза - если при каких-то ее значениях сила натяжения сравняется с величиной , возникнет проскальзывание кольца по нити. Реализуем этот план.
При условии, что кольцо не скользит по нити, ускорения груза и кольца одинаковы по величине. В этом случае второй закон Ньютона для груза и кольца в проекциях на оси, направленную вниз для груза и вверх для кольца, имеет вид
где - проекция ускорения тел на эти оси, - сила натяжения нити. Отсюда находим силу натяжения
Из этой формулы следует, что при малых сила натяжения мала и проскальзывания не возникает. Но с ростом массы груза сила натяжения растет и если
возникает проскальзывание между кольцом и нитью. Поэтому проскальзывание не будет возникать, если
Из формулы (*) следует также, что максимальная сила натяжения нити достигается при , и она равна
Следовательно, если максимальное значение силы трения между нитью и кольцом будет больше, чем , проскальзывание не возникнет ни при какой массе груза.
Примечание. Возможно решение, в котором в качестве основы решения рассматриваются большие массы груза, при которых заведомо существует скольжение. В этом случае сила натяжения равна максимальной силе трения, а ускорения кольца и груза - разные. Можно найти эти ускорения и увидеть, что при уменьшении массы груза при некотором ее значении эти ускорения совпадут. Если такой способ решения привел к правильным ответам, то он оценивается полным баллом.