Росатом 2024, 10 класс, задача 2
Горизонтальную гладкую трубу изогнули, сделав в ней кольцевую петлю радиуса , расположенную в вертикальной плоскости. В трубу на ее горизонтальном участке со скоростью пустили канат длиной (см. рисунок). При какой минимальной скорости канат сможет преодолеть петлю? Трение отсутствует, радиус петли много больше радиуса самой трубы и каната.
Решение.
Канат сможет пройти петлю, если при ее полном заполнении будет иметь ненулевую скорость (даже совсем маленькую). Поэтому минимальной скорости каната, допускающей его прохождение через петлю, отвечает такая ситуация, когда канат при полном заполнении петли имеет нулевую скорость. А поскольку центр тяжести каната, полностью заполняющего петлю радиуса , находится в центре петли (т.е. на высоте от поверхности земли), то закон сохранения энергии для полного заполнения петли канатом дает
где масса части каната, полностью заполняющего петлю. Поскольку канат однородный, масса во столько же раз меньше массы каната, во сколько раз длина петли меньше длины каната
Отсюда находим минимальную скорость каната, имея которую он сможет преодолеть петлю.
Правильное условие минимальности скорости, имея которую, канат сможет преодолеть петлю
Использован правильный закон сохранения энергии
Правильно найден центр тяжести каната, полностью заполняющего петлю
Правильно найдена масса той части каната, которая заполняет петлю
Правильный ответ