Росатом 2023, 10 класс, задача 3
Два тела одновременно начинают двигаться из одной точки с постоянными (и одинаковыми) скоростями : одно - по окружности радиуса , проходящей через эту точку, второе - по диаметру этой окружности (см. рисунок). Через какое время после начала движения расстояние между телами будет максимальным? Чему равно максимальное расстояние между телами? Ограничиться рассмотрением промежутка времени, в течение которого второе тело прошло вдоль диаметра.
Решение.
Очевидно, что расстояние между двумя произвольно движущимися телами будет увеличиваться, если проекции скоростей тел на прямую, соединяющую тела, одинаковы (рис. а; проекции показаны жирным). Это расстояние будет увеличиваться, если проекции скоростей тел на ось, соединяющую тела, имеют разные знаки так, как это показано на рисунке б, или одинаковые знаки, но проекция скорости догоняющего тела меньше проекции скорости убегающего (рис. в). И это расстояние будет уменьшаться, если проекции скоростей тел на соединяющую их ось имеют разные знаки так, как это показано на рисунке г, или одинаковые знаки, но проекция скорости догоняющего больше проекции скорости убегающего (рис. д).
А поскольку скорость тела, движущегося по диаметру, направлена вдоль диаметра, а второго - по касательной к окружности и одинаковы по величине, то до того момента, когда второе тело пройдет четверть окружности проекции скоростей тел на прямую их соединяющую будут иметь разнее знаки, и расстояние между телами будет расти. После этого момента расстояние между телами будет уменьшаться, поскольку скорости тел одинаковы по величине, а скорость тела, движущегося по окружности будет направлена под меньшим углом к прямой, соединяющей тела. Следовательно, расстояние между телами будет максимально, когда тело, движущееся по окружности, пройдет четверть окружности (см. рисунок).
Поэтому это произойдет через время
после начала движения. Тело, движущееся по диаметру, пройдет к этому моменту кусок диаметра с длиной, равной четверти длины окружности
А расстояние между телами в этот момент можно найти по теореме Пифагора
Правильная идея решения - при максимальном расстоянии между телами проекция относительной скорости на соединяющую тела прямую равна нулю
Правильно находятся проекции скоростей тел на отрезок, соединяющий тела
Правильный вывод (с обоснованием), что максимальным расстояние между телами будет в момент, когда тело пройдет четверть окружности
Правильное найдено время, через которое расстояние между телами максимально
Правильно найдено максимальное расстояние между телами