Росатом 2022, 9 класс, задача 4
На горизонтальной поверхности находится гладкий клин с углом при основании , на нем тело. Клин двигают вправо с некоторым ускорением. Найти это ускорение, если время соскальзывания тела вдвое меньше времени соскальзывания с закрепленного клина? Ответ обосновать.
Решение.
Найдем время соскальзывания с неподвижного клина. Ускорение тела на неподвижном клине и длина пройденного им до спуска пути определяются соотношениями
( - начальная высота тела над землей), поэтому время спуска тела с закрепленного клина можно найти по закону равноускоренного движения
По условию время соскальзывания тела с движущегося с ускорением клина в два раза меньше времени (1), т.е. равно
Но время (2) - это время свободного падения тела с высоты (без начальной скорости). Следовательно, ускорение клина таково, что тело свободно падает с ускорением . Найдем из этого условия ускорение клина.
Пусть тело сместилось вертикально вниз на величину . Тогда клин должен сместиться вправо на такую величину , что
Этот вывод иллюстрируется рисунком, на котором жирными вертикальным и горизонтальным отрезками показаны перемещения тела и клина. А поскольку связь перемещений клина и тела (3) справедлива в любой момент времени, то такой же будет связь скоростей и ускорений тела и клина. Поэтому
Ну а поскольку тело движется с ускорением свободного падения, то окончательно получаем для ускорения клина
Правильное время соскальзывания с неподвижного клина
Правильный вывод (с обоснованием), что тело падает вертикально вниз с ускорением свободного падения
Правильная кинематическая связь ускорения тела и клина
Правильный ответ для ускорения клина