Росатом 2024, 11 класс, задача 2
Два одинаковых маленьких массивных шарика прикреплены к жесткому невесомому стержню длиной . Стержень ставят вертикально на гладкую горизонтальную поверхность (см. рисунок), а потом отпускают. Найти ускорение центра стержня в тот момент времени, когда скорость нижнего шарика будет максимальна.
Решение.
Поскольку центр масс системы шариков движется вертикально вниз (нет горизонтальных внешних сил, действующих на тела системы), скорость нижнего шарика в момент падения стержня на землю будет равна нулю. Следовательно, нижний шарик в процессе падения стержня на землю будет сначала разгоняться, а потом тормозить. И, следовательно, в какой-то момент времени его скорость будет максимальной.
Найти тот момент, когда скорость нижнего шарика будет максимальна, можно через силу натяжения стержня. В начале движения шариков стержень будет сжат и будет действовать на нижний шарик с силой, направленной вниз, разгоняя его (см. левый рисунок). Ближе к концу движения из-за увеличения скорости верхнего шарика сила натяжения стержня сменит свое направление, и будет уже тормозить нижний шарик (см. правый рисунок). Значит, скорость нижнего шарика будет максимальна в тот момент времени, когда сила натяжения стержня будет равна нулю.
Но в тот момент времени, когда сила натяжения стержня равна нулю, на верхний шарик действует только сила тяжести. Следовательно, ускорение верхнего шарика в этот момент равно . А поскольку центр стержня совпадает с центром масс системы шариков, его ускорение можно найти как ускорение центра масс
где и - ускорения шариков. А поскольку ускорение нижнего шарика в рассматриваемый момент равно нулю, верхнего , из этой формулы находим ускорение середины стержня
Правильная идея решения: когда скорость нижнего шарика максимальна, его ускорение равно нулю, и, следовательно, сила натяжения стержня в этот момент равна нулю
Правильный вывод, что ускорение верхнего шарика равно ускорению свободного падения
Использована формула для ускорения центра масс
Правильный ответ