Росатом 2025, 9 класс, задача 4
В системе, изображенной на рисунке, все блоки невесомы, нити - невесомы и нерастяжимы. Массы грузов равны и . Найти ускорения грузов.
Ответ
Решение.
Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Это две силы тяжести и и силы натяжения нитей и (см. рисунок).
Второй закон Ньютона для тел дает
где и - ускорения тел ( - ускорение тела массой , - тела массой ). Спроецируем эти законы на оси, направленную вверх для меньшего тела, и вниз для большего. Получим
Поскольку блоки невесомы, то суммы сил, действующих на каждый из них, равны нулю. Поэтому сила натяжения нитей, прикрепленных к осям двух маленьких подвижных блоков, равны , а сила натяжения нити, прикрепленной к большому телу - . Установим теперь связь ускорений. Если маленькое тело опустится вниз на величину , то нить справа от самого левого блока укоротится на . Это приведет к подъему двух маленьких подвижных блоков на каждого. Поэтому скорость маленького тела в любой момент времени вчетверо меньше скорости большого, и, следовательно ускорение: . В результате наша система уравнений станет такой
Решая эту систему уравнений, найдем
Это значит, что больший груз будет двигаться с ускорением , направленным вверх, а меньший груз - с ускорением , направленным вниз.