Росатом 2024, 10 класс, задача 3
Однородную нерастяжимую гибкую веревку массой и длиной подвесили в двух точках и , находящихся на разных высотах (см. рисунок). Сила натяжения веревки в точке известна и равна . Найти силу натяжения веревки в точке , которая находится на выше точки .
Ответ
Решение.
Для связывания сил натяжения веревки в токах и можно воспользоваться следующим приемом. Соединим точки и гладкой наклонной плоскостью и замкнем веревку (т.е. сделаем ее замкнутой с одной частью, лежащей на наклонной плоскости с длиной, равной длине наклонной плоскости; см. рисунок). Докажем, что расположение висящей части веревки при этом не изменится.
Очевидно, веревка, часть которой лежит на наклонной плоскости , а часть висит между концами плоскости и , будет находится в равновесии (из-за невозможности вечного двигателя). Поэтому и висящая между и часть веревки тоже будет находиться в равновесии (как и веревка, концы которой закреплены в точках и ). Это значит, что если закрепить ее концы в точках и и отрезать часть, лежащую на плоскости, мы придем к той самой веревки, которая была подвешена между точками и , и расположение которой будет абсолютно таким же, как и у замкнутой веревки, часть которой лежит на плоскости . Утверждение доказано.
Теперь легко найти связь сил натяжения веревки в точках и . С одной стороны, эти силы обеспечивают равновесие висящей между и части веревки. А с другой, они обеспечивают равновесие той части веревки, которая лежит на плоскости. А ее равновесие обеспечивается разностью сил натяжения в точках и . Поэтому
где - масса той части веревки, которая находится на наклонной плоскости, - угол наклона плоскости (см. рисунок). Поскольку веревка однородна, то
где - длина наклонной плоскости. Синус угла наклона плоскости найдем геометрически
В результате получаем