Росатом 2022, 10 класс, задача 3
Два груза с массами и подвешены на невесомых нерастяжимых нитях длиной прикрепленных к одной точке горизонтального потолка. Между телами вставляют невесомый стержень длиной , прикрепляют к ним и удерживают систему в таком положении, что стержень горизонтален (см. рисунок). В некоторый момент времени тела отпускают. Найти их ускорения сразу после этого.
Решение.
Поскольку в процессе движения тел нити останутся натянутыми, тела будут двигаться по окружностям с центром в точке крепления нитей. Но в начальный момент их скорость равна нулю, поэтому ускорения тел не будут иметь центростремительной составляющей, а будут направленными перпендикулярно нитям (см. рисунок). Кроме того, поскольку проекции ускорений тел на направление стержня одинаковы (стержень нерастяжим), то ускорения тел равны по величине. На тела действуют: силы натяжения стержня и , которые могут быть направлены только вдоль стержня, поскольку он не имеет массы, и - силы натяжения нитей, направленные вдоль нитей, и силы тяжести и (см. рисунок). Поэтому второй закон Ньютона для тел дает
Проецируя эти уравнения на оси, перпендикулярные нитям, и учитывая, что именно так направлены векторы ускорений тел, получим
Складывая эти уравнения и учитывая, что (см. рисунок), получим
Правильно найдены направления ускорений тел в начальный момент (перпендикулярно нитям)
Доказательство одинаковости ускорений тел
Правильные уравнения второго закона Ньютона для обоих тел в проекциях на оси, перпендикулярные нитям
Правильный ответ для ускорения тел