Росатом 2023, 11 класс, задача 2
В системе двух тел массой и и двух невесомых блоков все тела сначала удерживали в покое. В некоторый момент времени блоки начали тянуть с вертикальными ускорениями и (см. рисунок). Какими силами нужно действовать для этого на блоки? Нити невесомы и нерастяжимы, все не касающиеся блоков участки нитей вертикальны.
Ответ
Решение.
Поскольку блоки начали двигаться из состояния покоя, скорости блоков пропорциональны их ускорениям. Поэтому в любой момент времени скорости блоков относятся как (начиная с правого-нижнего).
Пусть за некоторый малый интервал времени правый-нижний блок совершил перемещение вниз. Тогда нить справа от него удлинилась на . Также на опустилась и точка этого блока, от которой идет нить к телу массой . А поскольку нить нерастяжима, тело массой сместилось вниз на . Это значит, что в любой момент времени скорость тела массой вдвое больше скорости правого-нижнего блока. Таким же будет и соотношение ускорения этого тела и ускорения правого-нижнего блока
Левый-верхний блок за это же время поднимется вверх на величину (его ускорение вдвое меньше ускорения правого-нижнего блока). Поэтому участок нити от тела массой до левого-верхнего блока станет длиннее на . На поднимется и точка левого-верхнего блока, от которой идет нить к телу массой . Поэтому это тело переместится вверх на расстояние , и, следовательно, это тело будет иметь ускорение
Поэтому из второго закона Ньютона для этого тела получаем силу натяжения нити, привязанной к телу массой
Для тела массой второй закон Ньютона дает
А поскольку блоки невесомы, на них нужно действовать силой, равной удвоенной силе натяжения охватывающей блок нити
где и - искомые силы, которыми нужно действовать на блоки, движущиеся с ускорениями и соответственно.