Росатом 2022, 11 класс, задача 1

Решение.

Из законов сохранения энергии и импульса следует, что при центральных упругих столкновениях тел одинаковых масс тела обмениваются скоростями. В частности, если тело, движущееся со скоростью , налетает на покоящееся тело той же массы, то после центрального упругого столкновения первое тело остановится, а второе будет двигаться со скоростью . Это значит, что картина движения наших тел является такой.

Сначала движется первое тело, и его движение до столкновения со вторым телом замедляется силой трения.

После столкновения со вторым, первое останавливается, а второе будет двигаться с его предыдущей скоростью. До столкновения с третьим телом сила трения уменьшит его скорость.

После столкновения с третьим телом второе остановится, а третье будет двигаться с его скоростью.

И т.д.

Таким образом, в каждый момент времени в системе тел движется только одно тело, причем с такой скоростью, до какой сила трения успела затормозить движение тел. Расстояние, на котором это движение полностью прекратиться, легко найти с использованием теоремы об изменении кинетической. Поскольку тела точечные и при каждом ударе предыдущее тело передает свою скорость последующему, то, несмотря на то, что сила трения тормозит разные тела, торможение движения силой трения происходит так, как будто движется одно тело. Поэтому теорема об изменении кинетической энергии дает для полного торможения

где - масса тел, - начальная скорость первого тела, - коэффициент трения между телом и желобом, - расстояние от точки, в которой начало движение первое тело, до точки остановки последнего. Отсюда находим, что движение остановится на расстоянии

от начальной точки. А поскольку расстояние между всеми телами , то в движение будут вовлечены следующее количество тел

где - целая часть. Или