Росатом 2026, 10 класс, задача 4

Решение.

В момент броска тень от камня находится на земле, в момент падения - тоже. И если бы тень от камня все время находилась между начальной и конечной точками, то пройденный тенью путь равнялся бы дальности полета камня по горизонтали. Очевидно, что если , камень по отношению к солнечным лучам начнёт сразу смещаться вправо (см. рисунок), и тень всегда лежит между точками бросания падения камня. Поэтому при путь, пройденный тенью, равняется дальности полета камня по горизонтали. Используя известную формулу для дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту, получим для пути, пройденного камнем:

Существенно другой будет ситуация при . В этом случае тень сначала начнет двигаться от точки падения камня на землю, а после того как скорость камня станет параллельной солнечным лучам, начнет двигаться в направлении точки падения (см. рисунок, на котором участок пути тени от точки бросания до ее максимального смещения влево показан жирным). Поэтому, если длину этого участка обозначить как , то путь, пройденный тенью до падения камня на землю равен двум длинам плюс дальность полета камня

Найдем . Камень движется равноускоренно, поэтому зависимость радиус-вектора камня и его скорости от времени имеют вид

Выберем систему координат так, что ее начало находится в точке бросания камня, ось направлена противоположно солнечным лучам, а ось перпендикулярно. Проецируем векторные уравнения на ось , получим

Максимальному смещению тени влево отвечает ситуация, когда проекция скорости камня на ось равна нулю (см. рисунок, на котором кусочек траектории камня от точки бросания до точки, отвечающей максимальному смещению тени влево показан пунктиром). Поэтому из второго уравнения находим время движения камня до этой точки

а из первого уравнения - дальность смещения тела по оси до этой точки

Отсюда находим

и путь, пройденный тенью