Росатом 2024, 10 класс, задача 4
На краю полусферической чаши радиуса закреплена невесомая нить длиной , ко второму концу которой прикреплено маленькое тело. Тело удерживают на краю чаши так, что нить натянута (см. рисунок). В некоторый момент времени тело отпускают. Найти скорость и ускорение тела в тот момент, когда оно проходит нижнюю точку своей траектории.
Решение.
Докажем, что траектория тела - окружность, расположенная в вертикальной плоскости. Действительно, все точки траектории лежат с одной стороны на поверхности сферы, поэтому их координаты , и связаны соотношением
С другой стороны, все эти точки находятся на расстоянии от точки с координатами . Поэтому
Вычитая эти равенства друг из друга, находим
Это и означает, что - координата тела при его движении остается постоянной - тело движется в плоскости, перпендикулярной оси на расстоянии от начала координат (см. рисунок). Отсюда находим радиус окружности, по которой движется тело
Скорость тела в нижней точке находим из закона сохранения энергии
Поскольку тело движется по окружности, то его ускорение в нижней точке является центростремительным и равно
Доказано, что траектория тела - окружность, лежащая в вертикальной плоскости
Правильно найден радиус этой окружности
Правильное использование закона сохранения энергии
Правильно найдена скорость тела в нижней точке траектории
Правильно найдено ускорение тела в нижней точке траектории