ВсОШ 2025, Муницип, 9 класс, задачи 12–16
Лёгкая горизонтальная однородная балка закреплена одним концом. К свободному концу приложена сила . При изгибе в каждом вертикальном сечении балки возникают упругая сила и упругий момент. Например, если рассматривать сечение на расстоянии от свободного конца, момент сил упругости равен . Если момент превышает предельное значение прочности, балка ломается.
Гладкий однородный шест длиной зажат между двумя деревьями, расстояние между которыми . К левому концу шеста прикладывают вертикальную силу .
1. С какой силой шест действует на правое дерево? Ответ дайте в ньютонах с округлением до целого числа.
2. Найдите силу упругого взаимодействия правой и левой частей шеста в сечении, находящемся на расстоянии от левого конца. Силу считайте положительной, если она направлена так же, как , и отрицательной — если противоположно. Ответ дайте в ньютонах с округлением до целого числа.
3. Найдите модуль момента упругих сил в том же сечении. Ответ дайте в с округлением до целого числа.
4. На каком расстоянии от левого конца шеста момент упругих сил максимален? Ответ дайте в сантиметрах с округлением до целого числа.
5. Какую силу надо приложить к левому концу шеста длины , чтобы сломать шест аналогичным образом? Ответ дайте в ньютонах с округлением до целого числа.
Ответ.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Решение.
1. Запишем условие равновесия моментов относительно левого дерева:
Отсюда
2. Рассмотрим правую часть шеста. Для её равновесия
Следовательно,
3. Из условия равновесия моментов правой части относительно рассматриваемого сечения:
4. Максимальный момент возникает в сечении у правого дерева, то есть на расстоянии от левого конца.
5. Предельный момент в исходной ситуации равен
Для нового шеста плечо равно , поэтому
Максимальный балл за задачу