Похоже на Сатурн

1. Пусть — радиус-вектор, проведённый из центра шара в точку на его поверхности. Тогда для электрического поля на поверхности шара получим:

Далее воспользуемся цилиндрическими координатами , . Начало координат совпадает с центрами кольца и шара, ось направлена вдоль оси вращения системы, а обозначает расстояние от рассматриваемой точки до оси .

Определим электрическое поле кольца на его оси вращения.

Первый способ:

Рассмотрим окружность радиусом с зарядом , распределённым равномерно по её периметру. Тогда на оси вращения окружности в точке с координатой электрическое поле равняется

Поскольку , при любых значениях справедливо приближение

Учитывая, что для кольца , его электрическое поле на оси равняется:

Второй способ:

Электрическое поле кольца на его оси может быть найдено с помощью теоремы о телесном угле. Покажем, что если по плоскому слою равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью , то в точке компонента электрического поля, перпендикулярная слою, равна:

где — телесный угол, под которым виден плоский слой из точки .

Доказательство: рассмотрим элемент плоского слоя с площадью . Пусть — единичный вектор нормали к поверхности слоя, направленный к точке , а — радиус-вектор, проведённый от элемента слоя к точке . Тогда для нормальной компоненты электрического поля элемента слоя получим:

Если направления векторов и изменить на противоположные, величина по определению будет представлять собой элемент телесного угла , под которым элемент плоского слоя виден из точки . Таким образом:

что и требовалось доказать.

Определим телесный угол, под которым виден диск из точки, расположенной на его оси. Он равен телесному углу, под которым виден из центра сферы её сегмент, ограниченный конусом с углом раствора , вершина которого совпадает с центром сферы:

где . Отсюда

Тогда для телесного угла, под которым виден диск радиусом из точки, находящейся на его оси вращения на расстоянии от центра, получим:

Телесный угол, под которым видно кольцо на его оси вращения в точке с координатой , может быть получен как разность телесных углов дисков радиусами и :

Отсюда

Наконец, обратим внимание, что компонента электрического поля кольца, перпендикулярная его плоскости, вблизи оси вращения кольца является практически постоянной. Это связано с тем, что складываемые компоненты электрического поля имеют одинаковое направление, а расстояние до каждого заряженного элемента кольца при малых отклонениях от его оси вращения так же изменяется на малую величину.

Таким образом:

Далее определим компоненту электрического поля кольца, перпендикулярную его оси вращения. Вблизи плоскости кольца величина данной компоненты электрического поля является практически постоянной, поскольку, как и в случае с компонентой , при малых отклонениях от плоскости кольца направления складываемых компонент векторов не изменяются, а расстояния так же изменяются на малую величину.

Таким образом:

Первый способ:

Воспользуемся теоремой Гаусса для цилиндра радиусом и высотой , соосного с кольцом:

где и — потоки электрического поля кольца через основания цилиндра и боковую поверхность соответственно.

Поскольку компонента электрического поля кольца практически не зависит от , а компонента электрического поля кольца практически не зависит от :

Подставляя полученное ранее выражение для :

Второй способ:

Рассмотрим окружность радиусом , по периметру которой равномерно распределён заряд . В точке окружности, расположенной на расстоянии от его центра, электрическое поле направлено вдоль линии, соединяющей центр кольца с рассматриваемой точкой.

Пусть — угол, отсчитываемый между линиями «точка — центр окружности» и «элемент заряда — центр окружности». Тогда для элементарной компоненты электрического поля получим:

Учтём, что и введём параметр :

Упростим полученное выражение с учётом :

Здесь мы пренебрегали всеми порядками малости выше первого.

Получим:

Здесь мы учли, что интеграл от тригонометрической функции за период равен нулю.

Продолжая интегрирование:

Тогда для имеем:

При переходе к исходному кольцу , а . Тогда для компоненты электрического поля кольца получим:

Введём угол между плоскостью кольца и радиус-вектором . Тогда для и получим:

Для компонент электрического поля на поверхности шара получим:

Величина электрического поля определяется выражением и достигает экстремальных значений при . Поскольку заряды кольца и шара положительные, для них имеем:

Поскольку , окончательно находим:

2. Для того, чтобы электрическое поле можно было считать направленным вдоль оси вращения системы, компонента электрического поля должна обращаться в ноль, чему соответствует единственное значение , равное

Отметим, что при данном значении компонента не обращается в ноль в точках, удалённых от плоскости кольца на значительное расстояние. Вблизи плоскости кольца компонента электрического поля в точности стремится к нулю, а полученное нами приближение для компоненты электрического поля становится неприменимым (для полученной ), поскольку не учитывает более высоких членов разложения, и, соответственно, в точках, находящихся вблизи плоскости кольца, электрическое поле на довольно коротком участке становится направленным вдоль плоскости кольца.