Из области фантастики
16 баллов. В кубическом сосуде с ребром находится моля криптона в равновесном состоянии с температурой . В некоторый момент времени неким фантастическим способом изменяются законы соударения молекул криптона с внутренними стенками сосуда: теперь эти соударения с вероятностью являются упругими, а с вероятностью — абсолютно неупругими.
Оцените время после воздействия, за которое давление на стенки сосуда уменьшится на по сравнению с тем, что было до воздействия. За какое время это давление уменьшится в два раза? Какая масса криптона «осядет» на стенках сосуда к этому моменту времени? Молярная масса криптона , универсальная газовая постоянная .
Ответ
Решение.
При абсолютно неупругих соударениях передача импульса от газа к стенке в раза меньше, чем при упругом. Средняя передача импульса после воздействия
(здесь — передача импульса при упругих соударениях). Следовательно, при той же концентрации и скорости молекул давление газа на наши «необычные» стенки будет на меньше, чем для «обычных» стенок. Значит, сразу после воздействия давление «мгновенно» падает на . Ясно, что для уменьшения давления на оно должно упасть еще примерно на от начального (при оценочном вычислении пренебрежем отличием от ).
Второй эффект, который повлияет на давление, связан с тем, что при абсолютно неупругом соударении молекулы «прилипают» к стенкам, и масса газа в сосуде (а вместе с ней и концентрация молекул газа) уменьшается. При этом средняя кинетическая энергия поступательного движения у оставшихся молекул практически не изменяется. Таким образом, после воздействия давление в сосуде будет уменьшаться примерно пропорционально массе газа.
Количество молекул, прилипающих к стенкам общей площадью за малое время , можно оценить как
где — средняя скорость молекул с массой , которую можно считать примерно равной
Поэтому скорость убыли массы
Значит,
Таким образом, время уменьшения массы (и, как мы поняли, давления) еще на равно
Это и есть требуемая оценка. При этом на стенках осядет примерно от начальной массы криптона:
Для больших изменений давления нам нужно учесть зависимость скорости изменения массы от массы, то есть решить уравнение
Суммирование приращений приводит к зависимости , в которой
Зависимость давления о времени
и снижение давления в два раза происходит к моменту времени
Масса «захваченного» стенками криптона
то есть немного меньше половины общей массы.
Ответ. Давление в сосуде упадет на примерно спустя время после воздействия, в два раза — примерно спустя , за это время на стенках «осядет» криптона.