Тайная субстанция
( баллов): Один из подчиненных Федора Симеоновича - бакалавр черной магии Магнус Федорович Редькин - на протяжении многих лет пытался найти Белый Тезис, созданный Бен Бецалелем. И однажды Федору Симеоновичу удалось найти в манускрипте века сведения об этом артефакте. Согласно манускрипту, Белый Тезис - это сгусток необычной субстанции массой мин (что в метрической системе мер соответствует примерно кг). В отношении свойств этой субстанции были сообщены следующие сведения (приведены в переводе на современный язык с современными единицами измерения):
- уравнение изотермы в координатах давление-объем ;
- уравнение изохоры в координатах давление-температура , где ;
- при постоянных температуре и объеме давление субстанции растет пропорционально квадрату ее массы;
- уравнение адиабаты в координатах плотность-температура является линейной функцией , где коэффициент не был сообщен;
- внутренняя энергия массы субстанции как функция объема и температуры определяется формулой
где , а .
Пользуясь этими сведениями, ответьте на следующие вопросы:
1. Чему равен коэффициент ?
2. Чему равен радиус Белого Тезиса и давление в его центре в отсутствие внешнего давления в невесомости (то есть когда давление внутри создается гравитационным притяжением самой субстанции) при температуре субстанции ? Считайте, что при этих условиях субстанция подчиняется закону всемирного тяготения Ньютона и ньютоновской механике.
Возможное решение:
1. Из информации об изотермическом и изохорном процессе ясно, что величина для субстанции является функцией массы и объема, а - функцией массы и температуры. Таким образом, давление должно выражаться формулой
Тогда, с учетом третьего пункта
где . Для согласования этой формулы с выражением для внутренней энергии получим уравнение адиабаты для субстанции: при постоянной массе уравнение дает:
Это уравнение линейно в координатах плотность-температура () только если выполняется равенство
причем в этом случае
2. Ясно, что в указанных условиях Белый Тезис станет шаром со сферически-симметричным распределением массы, в котором силы давления уравновешивают гравитационные силы. В этом случае давление убывает с ростом расстояния от центра. Рассмотрим бесконечно тонкий сферический слой субстанции радиусом и толщиной . Ускорение свободного падения можно записать через массу субстанции , сосредоточенную в шаре под этим слоем:
(здесь можно воспользоваться аналогией с электростатикой, основанной на похожести закона Кулона и закона всемирного тяготения). С другой стороны, условие равновесия слоя определяет изменение давления субстанции:
Согласно результату первого пункта, давление
При заданной температуре субстанции находим, что . Поэтому
Продифференцируем это соотношение, учитывая, что
и получим уравнение, определяющее распределение плотности субстанции:
Можно заметить, что для функции это уравнение принимает вид уравнения гармонических колебаний
Следовательно, его решение - это комбинация синуса и косинуса, то есть
Так как общая масса конечна, то , и поэтому . Таким образом,
Внешняя граница Белого Тезиса в заданных условиях соответствует обращению давления (а вместе с ним и плотности) в ноль, то есть его радиус определяется из требования
Константа может быть определена по полной массе Белого Тезиса:
Теперь можно найти плотность в центре конфигурации
и давление в центре Белого Тезиса
ОТВЕТЫ:
Записано уравнение состояния субстанции, эквивалентное
Это уравнение приведено к виду
Получено уравнение адиабаты в координатах плотность-температура, следующее из уравнения состояния и выражения для внутренней энергии, в дифференциальной или интегральной форме
Найдено соотношение (если это соотношение корректно доказано из других соображений - например, из существования энтропии как функции состояния субстанции, то этот пункт засчитывается вместе с предыдущим)
Получена формула
Получено правильное численное значение
Записано соотношение для изменения ускорения свободного падения внутри Белого Тезиса, эквивалентное
Записано условие равновесия сферического слоя или иное уравнение, эквивалентное
Явно получено правильное уравнение для функции , не содержащее неизвестных величин
Получено решение вида
Найдены правильная формула и численное значение см
Найдены правильная формула и численное значение