Тайная субстанция
( баллов): Один из подчиненных Федора Симеоновича - бакалавр черной магии Магнус Федорович Редькин - на протяжении многих лет пытался найти Белый Тезис, созданный Бен Бецалелем. И однажды Федору Симеоновичу удалось найти в манускрипте века сведения об этом артефакте. Согласно манускрипту, Белый Тезис - это сгусток необычной субстанции массой мин (что в метрической системе мер соответствует примерно кг). В отношении свойств этой субстанции были сообщены следующие сведения (приведены в переводе на современный язык с современными единицами измерения):
- уравнение изотермы в координатах давление-объем ;
- уравнение изохоры в координатах давление-температура , где ;
- при постоянных температуре и объеме давление субстанции растет пропорционально квадрату ее массы;
- уравнение адиабаты в координатах плотность-температура является линейной функцией , где коэффициент не был сообщен;
- внутренняя энергия массы субстанции как функция объема и температуры определяется формулой
где , а .
Пользуясь этими сведениями, ответьте на следующие вопросы:
1. Чему равен коэффициент ?
2. Чему равен радиус Белого Тезиса и давление в его центре в отсутствие внешнего давления в невесомости (то есть когда давление внутри создается гравитационным притяжением самой субстанции) при температуре субстанции ? Считайте, что при этих условиях субстанция подчиняется закону всемирного тяготения Ньютона и ньютоновской механике.
Ответ
Возможное решение:
1. Из информации об изотермическом и изохорном процессе ясно, что величина для субстанции является функцией массы и объема, а - функцией массы и температуры. Таким образом, давление должно выражаться формулой
Тогда, с учетом третьего пункта
где . Для согласования этой формулы с выражением для внутренней энергии получим уравнение адиабаты для субстанции: при постоянной массе уравнение дает:
Это уравнение линейно в координатах плотность-температура () только если выполняется равенство
причем в этом случае
2. Ясно, что в указанных условиях Белый Тезис станет шаром со сферически-симметричным распределением массы, в котором силы давления уравновешивают гравитационные силы. В этом случае давление убывает с ростом расстояния от центра. Рассмотрим бесконечно тонкий сферический слой субстанции радиусом и толщиной . Ускорение свободного падения можно записать через массу субстанции , сосредоточенную в шаре под этим слоем:
(здесь можно воспользоваться аналогией с электростатикой, основанной на похожести закона Кулона и закона всемирного тяготения). С другой стороны, условие равновесия слоя определяет изменение давления субстанции:
Согласно результату первого пункта, давление
При заданной температуре субстанции находим, что . Поэтому
Продифференцируем это соотношение, учитывая, что
и получим уравнение, определяющее распределение плотности субстанции:
Можно заметить, что для функции это уравнение принимает вид уравнения гармонических колебаний
Следовательно, его решение - это комбинация синуса и косинуса, то есть
Так как общая масса конечна, то , и поэтому . Таким образом,
Внешняя граница Белого Тезиса в заданных условиях соответствует обращению давления (а вместе с ним и плотности) в ноль, то есть его радиус определяется из требования
Константа может быть определена по полной массе Белого Тезиса:
Теперь можно найти плотность в центре конфигурации
и давление в центре Белого Тезиса
ОТВЕТЫ: