Эксперимент на неизвестной планете

Возможное решение: Сразу отметим, что характерные скорости частицы не превышают м/с, так что решение задачи в рамках ньютоновской механики (без релятивистских поправок) явно обладает «достаточной точностью». Изучим движение заряженной частицы в поле тяжести при наличии горизонтального магнитного поля. Как известно, общее движение в «скрещенных» полях состоит из дрейфа и ларморовского вращения. Это можно использовать, выделяя «недрейфовое» движение путем перехода в систему отсчета, движущуюся со скоростью дрейфа (эта скорость перпендикулярна и , и , а ее модуль ) - далее будем называть ее «дрейфующей», или ДСО.

В самом деле, уравнение движения частицы с массой и зарядом в однородном поле тяжести и в перпендикулярном ему магнитном поле

после перехода в ДСО: , принимает вид

то есть становится уравнением движения в одном только магнитном поле - поле тяжести «исчезает», поскольку скорость дрейфа подобрана именно так, чтобы !

Как видно из описания эксперимента, начальная скорость частицы всегда была направлена параллельно горизонтальной оси (будем далее считать ее осью ), идущей в направлении . Тут возможны два случая.

а) сонаправлена с . В этом случае при в ДСО частица стартует против оси со скоростью . Направим ось вертикально вверх. Ясно, что при движении со скоростью дрейфа сила Лоренца направлена вертикально вверх, и поэтому в данном случае она на начальном участке траектории (ларморовской окружности радиусом ) направлена вниз. Таким образом, закон движения частицы в ДСО

где - начальная высота, а ларморовская частота , а в системе отсчета, связанной с планетой:

Здесь введена безразмерная переменная . Отметим, что для анализа зависимости дальности полета от величины начальной скорости удобно записать ларморовский радиус через неизменные для данного опыта величины и эту безразмерную переменную

Другая удобная безразмерная переменная - это . Как видно, частица попадает на поверхность планеты только при , а момент падения соответствует

а диапазон возможных значений . Значит, координата точки падения

Эта функция монотонно растет при увеличении , и максимальная дальность полета достигается на краю интервала - при , то есть каждый раз нужно выбирать . Итак, при

Если , то в ДСО сила Лоренца на начальном этапе движения направлена вверх, то есть частица в ходе ларморовского вращения заворачивает выше начального положения (при ларморовского вращения вообще нет - частица движется по прямой). Это означает, что при любом частица на «пол» не падает.

б) противоположна . В этом случае в ДСО частица стартует против оси со скоростью . Закон движения частицы и в ДСО, и в «неподвижной» СО остаются аналогичны предыдущему пункту. Теперь

и

Как и в случае а):

Однако в этом случае

И мы обнаруживаем, что сначала удаление частицы по оси от точки запуска растет в область отрицательных , достигает максимума при , а затем уменьшается до нуля и снова растет - уже в область положительных . Максимальное отклонение частицы в область отрицательных

Максимальное отклонение в область положительных отвечает и равно

Для обеспечения максимальной дальности полета нужно выбрать , отвечающее большему из этих значений. Анализируя поведение функции в выражении для , устанавливаем, что при небольших выгоднее выбирать , а при выгодно запустить частицу с высоты . «Критическое» значение скорости отвечает , являющемуся корнем уравнения

Численное решение (например, с помощью таблицы Excel или пакета математических расчетов) дает (для зачета результата достаточно найти этот параметр с точностью до третьей значащей цифры). Итак: аналитическая формула для графика Громита имеет вид:

где . При частица не падает на «пол» камеры.

Из сопоставления формулы с графиком обнаруживаем, что положительные значения на графике отвечают отрицательным значениям в аналитической форме (именно в области на графике появляется точка излома). Кроме того, такое сопоставление позволяет найти, что

Это явно не Земля. В нашем распоряжении есть лишь небольшой участок графика, отвечающий изменению , но все равно можно проверить соответствие этого участка построенной теории. Тогда мы обнаружим, что точность описания достаточно высокая.

Ответы: формула, описывающая график в допустимой области значений :

где , м, м/с и . Индукция магнитного поля в камере Тл, ускорение свободного падения м/с.