Покори Воробьевы горы 2025, Отбор, 10 класс, вопрос 3
Вопрос 3 ( баллов). Допустим, что нам нужен механический датчик контроля ускорения, который «срабатывает» при превышении некоторого критического его значения. Датчик нужно установить на скоростной модели электромобиля, который будет ездить по прямой горизонтальной трассе в тоннеле, в котором почти полностью откачан воздух. Предлагается установить на электромобиле наклонную поверхность с двумя тяжелыми грузами одинаковой массы, соединенными легким и почти нерастяжимым тросом. Один груз помещается на наклонную поверхность, трос перекидывается через легкий блок, закрепленный на конце поверхности (участок троса при этом параллелен поверхности), а второй груз висит свободно (см. рисунок). Высота наклонной поверхности , ее горизонтальная проекция , поверхность понижается вперед по ходу электромобиля. Известно, что коэффициент трения между первым грузом и поверхностью . Найдите критическое значение ускорения, на которое рассчитан этот датчик. Ускорение свободного падения примите равным . Ответ запишите в , с точностью до десятых.
Ответ. .
Комментарий. Понятно, что датчик «срабатывает», когда первый груз начинает скользить вверх по наклонной поверхности. Проведем анализ равновесия груза в неинерциальной системе отсчета, двигающийся с постоянным ускорением, равным ускорению автомобиля. В НИСО к реальным силам добавляются силы инерции, и участок троса, к которому прикреплен второй груз, отклоняется от вертикали, и сила натяжения троса . Для обеспечения равновесия первого груза действующая на него сила трения должна быть равна . При критическом значении ускорения эта сила достигает максимального значения силы трения покоя, которое мы считаем равным . Таким образом, критическое значение ускорения определяется из уравнения
Значения тригонометрических функций угла наклона поверхности и , и поэтому при заданном значении