На равных расстояниях
( баллов): Через реку на ее почти прямолинейном участке шириной м сооружен мост, перпендикулярный реке. На расстоянии м и от берега, и от моста расположен почти неподвижный небольшой бакен. Катер стартует из точки напротив бакена с ближайшего к нему берега (см. рисунок) и движется таким образом, что он все время находится на равных расстояниях от моста и бакена. Кроме того, проекция его скорости на направление, перпендикулярное течению, все время остается постоянной. Катер достигает другого берега за с.
1. На каком расстоянии от моста катер причалит к другому берегу?
2. Чему равны максимальная и минимальная величина ускорения катера относительно берега за время движения?
Ответ
Возможное решение:
Введем систему координат , показанную на рисунке, и запишем условие равенства расстояний (начало координат совмещено с ближайшей к мосту точкой траектории катера, и ясно, что эта точка находится на расстоянии и от моста, и от бакена):
Из этого условия находим уравнение траектории катера:
то есть катер движется по параболе. Из этого уравнения сразу получаем ответ на первый вопрос: при координата точки причаливания , то есть эта точка находится на расстоянии
от моста. Далее заметим, что, согласно условию, вдоль оси катер движется с постоянной скоростью ( - время переправы). Поэтому ускорение катера все время направлено по оси (). Кроме того, ясно, что
и поэтому
Из закона движения видно, что движение по оси - равноускоренное с ускорением
Таким образом, величина ускорения катера постоянна, и поэтому максимальная и минимальная величина ускорения катера относительно берега равны друг другу:
Ответы: на расстоянии м, максимальная и минимальная величина ускорения катера относительно берега равны друг другу: .
Примечание: На самом деле решение может быть построено и на основании других соображений. Например, можно сразу утверждать, что траектория является параболой, так как заданное в условии свойство траектории является одним из определяющих свойств параболы как кривой, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (фокуса параболы) и некоторой прямой (директрисы параболы). То, что ускорение постоянно, можно понять из аналогии между движением катера и движением тела, брошенного в отсутствие сопротивления воздуха под углом к горизонту: именно в этом случае движение с постоянной скоростью вдоль оси и с постоянным ускорением вдоль оси дают параболическую траекторию.