На равных расстояниях
( баллов): Через реку на ее почти прямолинейном участке шириной м сооружен мост, перпендикулярный реке. На расстоянии м и от берега, и от моста расположен почти неподвижный небольшой бакен. Катер стартует из точки напротив бакена с ближайшего к нему берега (см. рисунок) и движется таким образом, что он все время находится на равных расстояниях от моста и бакена. Кроме того, проекция его скорости на направление, перпендикулярное течению, все время остается постоянной. Катер достигает другого берега за с.
1. На каком расстоянии от моста катер причалит к другому берегу?
2. Чему равны максимальная и минимальная величина ускорения катера относительно берега за время движения?
Возможное решение:
Введем систему координат , показанную на рисунке, и запишем условие равенства расстояний (начало координат совмещено с ближайшей к мосту точкой траектории катера, и ясно, что эта точка находится на расстоянии и от моста, и от бакена):
Из этого условия находим уравнение траектории катера:
то есть катер движется по параболе. Из этого уравнения сразу получаем ответ на первый вопрос: при координата точки причаливания , то есть эта точка находится на расстоянии
от моста. Далее заметим, что, согласно условию, вдоль оси катер движется с постоянной скоростью ( - время переправы). Поэтому ускорение катера все время направлено по оси (). Кроме того, ясно, что
и поэтому
Из закона движения видно, что движение по оси - равноускоренное с ускорением
Таким образом, величина ускорения катера постоянна, и поэтому максимальная и минимальная величина ускорения катера относительно берега равны друг другу:
Ответы: на расстоянии м, максимальная и минимальная величина ускорения катера относительно берега равны друг другу: .
Примечание: На самом деле решение может быть построено и на основании других соображений. Например, можно сразу утверждать, что траектория является параболой, так как заданное в условии свойство траектории является одним из определяющих свойств параболы как кривой, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (фокуса параболы) и некоторой прямой (директрисы параболы). То, что ускорение постоянно, можно понять из аналогии между движением катера и движением тела, брошенного в отсутствие сопротивления воздуха под углом к горизонту: именно в этом случае движение с постоянной скоростью вдоль оси и с постоянным ускорением вдоль оси дают параболическую траекторию.
Обосновано (любым способом), что траектория катера является параболой
Правильно найдено численное значение расстояния от моста до точки причаливания
Показано, что ускорение направлено по оси (вдоль реки)
Показано, что величина ускорения постоянна
Сделан вывод, что
Правильно найдена численная величина ускорения