Полеты друг за другом
(25 баллов): На соревнованиях программируемых квадрокоптеров аппараты-участники выполняют заданный алгоритм движения. На одном из туров один из квадрокоптеров «гонялся» за другим. Согласно этому алгоритму, «преследователь» гонялся за «преследуемым», двигаясь всегда в горизонтальной плоскости с постоянной по величине скоростью м/с строго по направлению к «преследуемому». При этом «преследуемый» двигался в той же плоскости с постоянной по величине скоростью м/с всегда по направлению, составляющим постоянный угол с направлением от «преследователя». В некоторый момент времени расстояние между квадрокоптерами равнялось м.
- Найдите угловую скорость вращения отрезка прямой, соединяющей квадрокоптеры, в этот момент времени.
- Найдите величину ускорения обоих квадрокоптеров спустя время с после этого момента времени.
- Сможет ли «преследователь» догнать «преследуемого» за достаточно большое время? Ответ объяснить.
Опишите максимально полно траектории, по которым двигаются квадрокоптеры.
Возможное решение: Рассмотрим произвольный момент времени и определим относительную скорость квадрокоптеров. Как нетрудно заметить, эта скорость оказывается перпендикулярна прямой, соединяющей квадрокоптеры, в этот момент времени (из-за того, что проекция скорости «преследуемого» на эту прямую в точности равна скорости «преследователя», направленной вдоль этой прямой: ).
Поэтому угол поворота этой прямой за малое время
Кроме того, изменение расстояния между квадрокоптерами за тот же промежуток времени
то есть в действительности это расстояние остается неизменным! Так как величины скоростей и угол между ними остаются неизменными, то оба тела вращаются вместе с этой линией с постоянной угловой скоростью. Радиусы кривизны их траекторий остаются постоянными:
и
Теперь мы понимаем, что оба квадрокоптера движутся по окружностям и можем ответить на все заданные нам вопросы. Так как величины скоростей квадрокоптеров не изменяются, их ускорения являются центростремительными:
и
Модули этих ускорений неизменны, так что эти значения можно использовать в любой момент времени движения. Ясно также, что постоянство расстояния между преследуемым и преследователем исключает возможность успешного завершения погони за любое время, пока характер движения не поменяется. Траектории движения квадрокоптеров - это две концентрические окружности радиусами примерно м (у преследователя) и м (у преследуемого), причем в любой момент времени вектор скорости преследователя направлен на преследуемого (см. рисунок).
Ответы: угловая скорость вращения отрезка прямой, соединяющей квадрокоптеры, в любой момент времени равна ; в любой момент времени величина ускорения преследователя равна , а преследуемого ; при таком движении преследователь никогда не догонит преследуемого; траектории движения квадрокоптеров - это две концентрические окружности радиусами и .
Критерии проверки:
| № | действие | макс. балл |
|---|---|---|
| 1 | Правильно найдена угловая скорость | |
| 1.1 | формула | |
| 1.2 | численное значение | |
| 2 | Правильно найдены ускорения обоих квадрокоптеров | |
| 2.1 | определены радиусы кривизны траекторий обоих квадрокоптеров | |
| 2.2 | указано, что ускорения сводятся к центростремительным (отсутствуют касательные составляющие ускорений) | |
| 2.3 | определена величина ускорения преследователя (формула+число) | |
| 2.4 | определена величина ускорения преследуемого (формула+число) | |
| 3 | Обоснованно утверждается, что погоня не может быть успешной. | |
| 3.1 | доказано, что расстояние между квадрокоптерами не изменяется | |
| 3.2 | сформулировано утверждение о безуспешности погони. | |
| 4 | Правильно описаны траектории обоих квадрокоптеров | |
| 4.1 | указано, что обе траектории - концентрические окружности | |
| 4.2 | правильно описано (в том числе указано на рисунке) относительное положение квадрокоптеров и центра окружностей | |
| 4.3 | приведен правильный иллюстрирующий рисунок | |
| ВСЕГО |
Правильно найдена угловая скорость
формула
численное значение
Правильно найдены ускорения обоих квадрокоптеров
определены радиусы кривизны траекторий обоих квадрокоптеров
указано, что ускорения сводятся к центростремительным (отсутствуют касательные составляющие ускорений)
определена величина ускорения преследователя (формула+число)
определена величина ускорения преследуемого (формула+число)
Обоснованно утверждается, что погоня не может быть успешной.
доказано, что расстояние между квадрокоптерами не изменяется
сформулировано утверждение о безуспешности погони.
Правильно описаны траектории обоих квадрокоптеров
указано, что обе траектории - концентрические окружности
правильно описано (в том числе указано на рисунке) относительное положение квадрокоптеров и центра окружностей
приведен правильный иллюстрирующий рисунок