Косвенные измерения

Возможное решение:

Обозначим искомые величины и , а величину внутреннего сопротивления вольтметра , и выразим через них величину напряжения на вольтметре: сила тока в ветви с источником

и поэтому нужное нам напряжение

Таким образом, результаты измерений дают нам независимых уравнения, содержащих неизвестных (, и ), среди которых - обе искомые величины. Ясно, что есть много разных способов их вычисления, и среди них есть неэквивалентные. Рассмотрим для примера один из них. Можно обратить внимание, что величина, обратная напряжению на вольтметре, является линейной функцией от :

где

Для каждого из значений сопротивления первого реостата ( и ) мы знаем два значения функции для двух значений аргумента , что позволяет найти коэффициенты зависимости:

Теперь заметим, что можно вычислить

С какой точностью определена эта величина? Отметим, что данные задачи даны с довольно высокой точностью: ошибка в определении сопротивлений не превосходит (для большинства значений - несколько десятых долей процента), а ошибка измерения напряжений не более . Однако в процессе вычислений мы использовали вычитание величин, известных нам приближенно, а при таком действии относительная ошибка может увеличиваться. Например, при нахождении было произведено вычитание

Если посмотреть максимально возможную

и минимально возможную

величину этой разности, то мы обнаружим, что крайние значения отклоняются от среднего не на (ошибка в определении этих напряжений), а на ! Поэтому ошибка в определении величины ЭДС может достигать В. Таким образом, в нашем способе В.

Далее выражаем

и аналогично

Как видно, результат достаточно стабилен, и ошибка в вычислении внутреннего сопротивления определяется ошибками определения входящих в это выражение величин и тем, что в этой формуле производится вычитание близких величин. Анализ интервальным методом показывает, что ошибка может достигать Ом. Таким образом, Ом.

Ответы: В, Ом.

Примечание: С точки зрения более строгого подхода, оценки погрешностей, производимые «интервальным» методом, являются несколько завышенными - на самом деле в рамках данного метода В и Ом, но для «школьных» решений такая оценка считается приемлемой. Кроме того, как было отмечено, результат не вполне однозначен из-за «избыточности» системы уравнений. Следует также обратить внимание, что «пошаговые» вычисления с «грубыми» округлениями промежуточных результатов из-за упомянутого увеличения относительной ошибки при вычитаниях близких величин могут привести к численному ответу с очень низкой точностью, даже при использовании правильных формул. Поэтому (см. критерии проверки) допустимы ответы, несколько отличающиеся от полученных в предложенном решении. При этом решения с большими отклонениями считаются следствием неаккуратного анализа системы уравнений, и поэтому соответствующие ответы не засчитывались (на самом деле при аккуратном анализе все разумные способы дают, например, для ЭДС значение от В до В). Отметим, что, получив некоторое приближенное решение, можно провести «корректировку» полученных значений, подставляя их в исходную систему и слегка изменяя для лучшего согласия (в этом случае, конечно, необходимо найти и третью неизвестную - внутреннее сопротивление вольтметра; например, в нашем методе Ом). Такая корректировка позволяет увеличить точность результатов, но значительно увеличивает объем вычислений. Также можно обратить внимание, что использование в формуле значений В, Ом и Ом позволяет (при округлении до соответствующего разряда) «воспроизвести» приведенные в таблице результаты без отклонений.