Отверстие в пленке
На достаточно большом (размер в любом направлении более метра) плоском каркасе, установленном вертикально, создана пленка из мыльного раствора. К горизонтальной верхней стороне его рамки прикреплены концы практически нерастяжимой тонкой нити длиной с массой . Нить «приклеилась» к пленке, и после этого пленку внутри нити аккуратно прокололи так, что «снаружи» от нити, между ней и каркасом, пленка уцелела. В результате пленка растянула нить, а внутри нити получилось «отверстие в пленке» (см. рисунок). Оказалось, что если расстояние между точками прикрепления концов нити , то максимальный размер отверстия по вертикали в состоянии равновесия точно равен , а касательные к нити в точках прикрепления вертикальны. Определите коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора. Найдите максимальную и минимальную величину силы натяжения нити. Оцените длину участка нити, лежащего в полосе на высоте (над нижней точкой нити), не превышающей . Масса пленки пренебрежимо мала, ускорение свободного падения считайте примерно равным . Указание: Силы поверхностного натяжения - силы, «стягивающие» поверхность жидкости благодаря межмолекулярным взаимодействиям. Для данной задачи важно, что каждая поверхность жидкости, ограниченная каким-либо смачиваемым телом (например - нитью), будет действовать на это тело с силой, перпендикулярной границе и направленной в сторону жидкости. Вы можете считать, что величина этой силы, приходящейся на кусочек нити длиной для каждой из поверхностей жидкости равна , где - это коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
Ответ
Возможное решение:
Каждый участок нити находится в равновесии под действием силы тяжести (направленной вниз), силы поверхностного натяжения (направлена перпендикулярно нити в каждой точке) и сил натяжения нити на концах этого участка (направлены по касательной к нити). Введем систему координат: ось направим горизонтально, ось - вертикально, а начало координат совместим с нижней точкой нити.
Для начала обратим внимание, что проекции силы натяжения, действующей на бесконечно малый участок нити длиной , касательная к которому составляет угол с осью , равны (см. рисунок)
Множитель «» появился из-за того, что наша пленка - двусторонняя. Если мы выделим произвольный участок нити (например, ), то, суммируя вклады его бесконечно малых участков, получим:
Еще одно важное соотношение для любого отрезка нити можно получить из принципа Мопертюи (виртуальных перемещений). Можно рассмотреть перемещение участка на расстояние «вдоль нити». Таким образом:
Сила натяжения нити растет снизу вверх (то есть минимальная ее величина в точке , а максимальная в точке ). Теперь запишем условия равновесия половины нити (участка ) вместе с уравнением, следующим из принципа Мопертюи:
Для ответа на четвертый вопрос запишем те же уравнения для отрезка нити от точки до произвольной точки с координатами :
В силу однородности нити доля длины нужного нам участка равна доле его массы от общей массы нити. Как видно, для нахождения нужно определить координату точки нити с :
С учетом находим, что . Значит,
Ответы: , , , .