Отверстие в пленке
На достаточно большом (размер в любом направлении более метра) плоском каркасе, установленном вертикально, создана пленка из мыльного раствора. К горизонтальной верхней стороне его рамки прикреплены концы практически нерастяжимой тонкой нити длиной с массой . Нить «приклеилась» к пленке, и после этого пленку внутри нити аккуратно прокололи так, что «снаружи» от нити, между ней и каркасом, пленка уцелела. В результате пленка растянула нить, а внутри нити получилось «отверстие в пленке» (см. рисунок). Оказалось, что если расстояние между точками прикрепления концов нити , то максимальный размер отверстия по вертикали в состоянии равновесия точно равен , а касательные к нити в точках прикрепления вертикальны. Определите коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора. Найдите максимальную и минимальную величину силы натяжения нити. Оцените длину участка нити, лежащего в полосе на высоте (над нижней точкой нити), не превышающей . Масса пленки пренебрежимо мала, ускорение свободного падения считайте примерно равным . Указание: Силы поверхностного натяжения - силы, «стягивающие» поверхность жидкости благодаря межмолекулярным взаимодействиям. Для данной задачи важно, что каждая поверхность жидкости, ограниченная каким-либо смачиваемым телом (например - нитью), будет действовать на это тело с силой, перпендикулярной границе и направленной в сторону жидкости. Вы можете считать, что величина этой силы, приходящейся на кусочек нити длиной для каждой из поверхностей жидкости равна , где - это коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
Возможное решение:
Каждый участок нити находится в равновесии под действием силы тяжести (направленной вниз), силы поверхностного натяжения (направлена перпендикулярно нити в каждой точке) и сил натяжения нити на концах этого участка (направлены по касательной к нити). Введем систему координат: ось направим горизонтально, ось - вертикально, а начало координат совместим с нижней точкой нити.
Для начала обратим внимание, что проекции силы натяжения, действующей на бесконечно малый участок нити длиной , касательная к которому составляет угол с осью , равны (см. рисунок)
Множитель «» появился из-за того, что наша пленка - двусторонняя. Если мы выделим произвольный участок нити (например, ), то, суммируя вклады его бесконечно малых участков, получим:
Еще одно важное соотношение для любого отрезка нити можно получить из принципа Мопертюи (виртуальных перемещений). Можно рассмотреть перемещение участка на расстояние «вдоль нити». Таким образом:
Сила натяжения нити растет снизу вверх (то есть минимальная ее величина в точке , а максимальная в точке ). Теперь запишем условия равновесия половины нити (участка ) вместе с уравнением, следующим из принципа Мопертюи:
Для ответа на четвертый вопрос запишем те же уравнения для отрезка нити от точки до произвольной точки с координатами :
В силу однородности нити доля длины нужного нам участка равна доле его массы от общей массы нити. Как видно, для нахождения нужно определить координату точки нити с :
С учетом находим, что . Значит,
Ответы: , , , .
Определение и сил натяжения
1.1 Правильно записаны выражения для компонент сил поверхностного натяжения, действующих на участок нити
1.2 Получено правильное выражение для зависимости силы натяжения нити от высоты
1.3 Записана правильная полная система уравнений, позволяющая найти , и
1.4 Получены правильные ответы (формула через и размеры + числовой ответ) для
1.5 Получены правильные ответы (формула через + числовой ответ) для
1.6 Получены правильные ответы (формула через + числовой ответ) для
Нахождение
2.1 Записана система трех независимых уравнений для силы тяжести и силы натяжения нити подходящего участка
Получено правильное уравнение для определения или по и
Получено правильное уравнение определения по
2.2 Выполнено необходимое интегрирование или предложен корректный (с погрешностью менее ) метод оценки
2.3 Получена правильная (для используемого метода) формула для и численное значение в интервале от до
2.4 Получено правильное значение с точностью до