Догонялки по правилам

Возможное решение: Рассмотрим бесконечно малый интервал времени в процессе погони. Изменение расстояния между Уоллесом и Громитом за этот промежуток времени

Как видно , уменьшается с постоянной скоростью. Суммируя изменения расстояния и времени в ходе погони, находим искомое время:

Ясно, что закон изменения расстояния между участниками погони

За время вектор скорости Уоллеса поворачивается вместе с направлением на Громита, поскольку скорость Громита имеет составляющую , перпендикулярную этому направлению. Угол поворота за время

Мы нашли закон изменения угловой скорости Уоллеса, но ясно, что у Громита она точно такая же - ведь угол между направлениями их скоростей постоянен. Удобно связать угол поворота с изменением расстояния: поскольку , то

Здесь при интегрировании мы решили отсчитывать угол поворота от начального положения. Таким образом, с учетом равенства модулей скоростей, угол поворота векторов скоростей обоих участников погони к моменту, когда расстояние между ними уменьшится в раза

В дальнейшем будем обозначать

Тогда

К окончанию погони Уоллес и Громит должны оказаться практически в одной точке, поэтому будем далее следить только за движением Уоллеса. Совместим начало координат с точкой его старта, и направление на Громита выберем направлением оси , направив ось перпендикулярно ей в сторону смещения Громита. Поскольку величина скорости Уоллеса постоянна, то проекции его скоростей

Полный угол поворота за все время погони очень велик (при ), и поэтому конечные координаты Уоллеса (и Громита) можно найти с использованием «математической подсказки»:

то есть

Значит, к окончанию погони Уоллес окажется от своей стартовой точки (начала координат) на расстоянии

Стартовая точка Громита имеет координаты , и модуль его перемещения в процессе погони точно такой же:

Чтобы изобразить картину, выложенную камешками Уоллеса, достаточно проанализировать ситуацию качественно. Поскольку модуль его скорости остается постоянным, а угловая скорость монотонно растет, то радиус кривизны его траектории монотонно уменьшается. Поэтому ясно, что траектория имеет вид скручивающейся спирали, выходящей из начала координат вдоль оси , и «наматывающейся» на конечную точку .

Можно выполнить построение и строго: выполнив интегрирование, можно найти уравнение траектории в параметрическом виде (в котором координаты Уоллеса записаны как функции угла поворота вектора его скорости)

Задав некий набор значений , вычисляем координаты нужного числа точек траектории. Полученная картина показана на рисунке. Заметим, что величина скорости Громита постоянна и такая же, как у Уоллеса, и зависимость угловой скорости от времени описывается точно такой же формулой. Значит, к каждому моменту времени Громит проходит точно такой же путь, вектор его скорости имеет тот же угол поворота, и радиус кривизны траектории точно такой же, как у Уоллеса.

Так что его траектория имеет в точности такой же вид, только она выходит из другой стартовой точки в другом начальном направлении.

Таким образом, если не решать задачу в общем виде, а сразу учесть равенство модулей скоростей участников погони и значение угла между скоростями, можно выстроить более простое решение для нахождения и (далее будем называть его «специальным») без использования «математической подсказки». В этом решении после доказательства одинаковости траекторий приходим к выводу, что

то есть обнаруживаем, что треугольник, образованный стартовыми точками участников и их общей конечной точкой, являлся равнобедренным. В процессе движения угол между парой одновременных бесконечно малых перемещений участников в любой момент времени равен . При одинаковых модулях скоростей получается, что каждое слагаемое в сумме бесконечно малых перемещений Громита может быть получено из соответствующего слагаемого в сумме бесконечно малых перемещений Уоллеса поворотом на один и тот же угол . Следовательно, в случае равных модулей скоростей угол между векторами перемещения Громита и Уоллеса (и между боковыми сторонами нашего равнобедренного треугольника) равен , то есть - по условию - . Тогда этот треугольник - равносторонний, и поэтому

Как видно, в специальном методе аккуратное доказательство ключевого утверждения (об угле между векторами перемещений) требует ссылки на равенство модулей скоростей, так как в противном случае оно неверно. В довольно большом количестве работ этот вывод формулировался без доказательства вообще или без упоминания в доказательстве необходимости равенства модулей скоростей. В этих случаях решение считалось неполным. Такой же подход использовался при оценке еще одного «специального» метода, также пригодного только для равных модулей скоростей и только для значения угла между скоростями, равного . В этом методе мы мысленно добавляем у двум участниками погони еще четырех так, чтобы они находились в момент старта в вершинах правильного шестиугольника, и далее каждый двигался вдоль своей стороны шестиугольника с одной и той же величиной скорости. В таком движении положение конечной точки находится из соображений симметрии, которые существенно упрощают анализ движения.

Ответы: время погони

закон изменения угловой скорости у обоих участников погони одинаков:

вектора их скоростей к заданному моменту времени повернутся на угол

Уоллес и Громит завершат погоню на одинаковом расстоянии м от своих стартовых точек; картина, выложенная камешками Уоллеса, схематично показана на рисунке.