Равновесия
(18 баллов): Легкая нерастяжимая непроводящая нить длиной мм закреплена одним концом на потолке. К ее второму концу прикреплен медный шарик, к нему - еще одна такая же нить, а к ней, в свою очередь, второй такой же шарик. Сначала шарики не были заряжены, и обе нити были вертикальны. Сила натяжения верхней нити при этом равнялась Н. Затем, удерживая шарики на месте, на верхний шарик нанесли заряд мкКл, а на нижний - заряд мкКл. В области, где находилась эта система, создали однородное горизонтальное электрическое поле с напряженностью кВ/м, и после этого шарики отпустили. Электрическая постоянная Ф/м. Плотность меди , ускорение свободного падения .
- Под какими углами к вертикали будут расположены нити после установления равновесия?
- Какими станут эти углы, если напряженность электрического поля уменьшить в три раза и вновь дождаться равновесия?
Ответ
Возможное решение: Вначале сила натяжения верхней нити уравновешивала силу тяжести, действующую на «тело» из двух шариков, соединенных нижней нитью. Следовательно, масса шариков удовлетворяла соотношению . Значит, масса одного шарика равна
а радиус шариков
Отметим, что это почти в раз меньше длины нити, и поэтому в дальнейшем для вычисления силы притяжения шариков мы будем использовать закон Кулона в форме, применимой для точечных зарядов. Поскольку суммарный заряд, нанесенный на шарики перед включением электрического поля, равен нулю, то и суммарная сила, действующая на это «тело» со стороны электрического поля, равна нулю. Поэтому сила натяжения верхней нити не изменится по величине и направлению, причем этот вывод не зависит от величины напряженности поля. Так что верхняя нить во всех случаях останется вертикальной - искомый угол отклонения .
После заряжения шариков и включения поля возникают электрические силы: одинаковые по величине и противоположные по направлению силы со стороны внешнего электрического поля и пара кулоновских сил притяжения шариков , где введено расстояние между центрами шариков мм. Силы натяжения нижней нити (если она натянута) сонаправлены с силами кулоновского притяжения, так что для каждого шарика их можно объединить в единую силу . Обозначим угол отклонения нижней нити от вертикали (см. рисунок).
Тогда, записывая условие равновесия любого из шариков, получаем уравнения для определения угла отклонения и величины :
Однако этот ответ получен в предположении, что нижняя нить натянута, то есть что ее сила натяжения . Проверим это:
Условие выполнено. Если напряженность электрического поля уменьшить в три раза, то новые значения
Таким образом, и в этом случае нить натянута, а угол отклонения уменьшается почти в три раза. Следует обратить внимание, насколько существенен учет радиуса шариков. Если вычислить величину силы кулоновского притяжения без учета этого радиуса, то
Значит, в этом случае условие, что нить натянута, оказалось бы нарушено уже при первом значении напряженности! Тогда все ответы оказались бы некорректными, ибо оказалось бы, что кулоновское притяжение заставит шарики «прилипнуть» друг к другу, в результате чего они бы разрядились и перестали бы «чувствовать» электрическое поле. Поэтому в положениях устойчивого равновесия обе нити были бы вертикальны. Отметим также, что поправка в закону Кулона, связанная с «неточечностью» шариков, намного меньше, чем учтенная нами поправка за счет изменения расстояния между центрами шариков.
Ответы: , , .
Критерии проверки: приведены строками в блоке оценивания ниже.