Темные звезды
( баллов): Однажды, в гостях у Генри Кавендиша, Федор Симеонович прочитал письмо Джона Митчела о «темных звездах» - так Митчел назвал объекты, свет от которых не может дойти до удаленного наблюдателя из-за гравитационного притяжения звезды (нужно отметить, что Митчел использовал закон тяготения Ньютона, механику Ньютона и корпускулярную оптику). Эта идея очень заинтересовала Федора Симеоновича.
1. Пользуясь теми же теориями, что и Дж. Митчел, ответьте на вопрос: каким должен быть радиус темной звезды с массой , чтобы ее не было видно внешнему наблюдателю с расстояния, более чем вдвое превышающего ее радиус? Вычислите этот радиус для массы звезды, равной массе Солнца кг. Скорость света считайте равной м/с, гравитационная постоянная .
Уже в веке он познакомился с решением Карла Шварцшильда в Общей Теории Относительности, описывающим «черные дыры» - объекты, окруженные «горизонтом» событий, из-под которого ничто не может выйти. Однажды коллеги-астрономы рассказали ему о наблюдении необычной звезды, которая вращалась вокруг некоторой точки по окружности радиусом а.е. ( а.е. - единица измерения расстояний, используемая в астрономии и примерно равная среднему радиусу орбиты Земли) с периодом земных лет, но при этом второго объекта в этой системе не было видно.
2. Считая, что вторым объектом в этой системе является темная звезда или черная дыра, определите ее массу.
В другой раз он узнал о наблюдении еще одной «астрофизической черной дыры» (так в физике и астрономии называют реально существующие в космосе объекты, по наблюдаемым проявлениям похожие на шварцшильдовские черные дыры). Астрономам удалось увидеть, как две «блуждающие звезды» прошли мимо этого объекта. Скорость первой относительно объекта на большом расстоянии от него была на больше, чем аналогичная скорость второй, но вектора скоростей обеих звезд в результате прохождения мимо объекта повернулись на один и тот же угол. Минимальное расстояние от траектории первой звезды до объекта было равно а.е., а момент прохождения через точку наибольшего сближения с объектом для второй звезды не удалось зафиксировать из-за пылевого облака, закрывшего часть ее траектории.
3. Определите минимальное расстояние от траектории второй звезды до объекта.
Возможное решение:
1. В корпускулярной теории света, движение частиц которого подчиняется механике Ньютона, частичка массой , стартующая со скоростью с поверхности сферически симметричной звезды радиуса и массы , будет иметь механическую энергию
Она не сможет удалиться далее расстояния от центра звезды, если
Таким образом, радиус должен удовлетворять ограничению
Для кг находим, что максимальный возможный радиус такой темной звезды
Ясно, что это значительно меньше радиуса Солнца.
2. Видно, что характерные скорости и ускорения движений объектов в этой двойной системе не отличаются радикально по порядку величины от тех, что мы наблюдаем у тел Солнечной Системы, поэтому с хорошей точностью можно использовать законы механики Ньютона. Пусть - масса наблюдаемой звезды, - масса невидимого компаньона. Если а.е. - радиус круговой орбиты наблюдаемой звезды, то радиус орбиты невидимого компаньона
и расстояние между звездами
Уравнение для центростремительной компоненты ускорения наблюдаемой звезды дает:
С учетом того, что для Земли на почти круговой орбите вокруг Солнца
где а.е., а , год, находим:
Как видно, данные астрономов не позволяют установить массу невидимого компаньона однозначно. Можно использовать косвенные соображения. Например, «практически круговые» орбиты чаще всего возникают в ситуации, когда одно из тел в образующейся системе намного массивнее остальных. Если считать, что , то получается, что
Но более правильно в такой ситуации (с «исследовательской» точки зрения) провести анализ возможных значений . Во-первых, можно заметить, что
Таким образом, масса невидимого компаньона не менее . Во-вторых, масса невидимого компаньона однозначно определяется по массе видимой звезды из полученного уравнения. Например, при находим, что , при - , при - . Для очень больших масса много меньше и растет пропорционально . В дополнение отметим, что в реальной ситуации масса видимой звезды с хорошей точностью может быть определена по спектру ее электромагнитного излучения - спектр очень чувствителен к физическим условиям в звездной фотосфере, которые зависят от массы и возраста звезды.
3. Из уравнения движения «блуждающей звезды» в поле тяготения массивного объекта
ясно, что траектория ее движения не зависит от массы звезды. С другой стороны, эта траектория определяется скоростью на бесконечности , расстоянием наибольшего сближения и величиной , характеризующей гравитационное поле. Поэтому угол поворота вектора скорости является однозначной функцией этих величин. Угол - величина безразмерная, а комбинация имеет размерность . Нетрудно заметить, что единственная безразмерная комбинация (, ) этих величин - это
Значит, угол поворота вектора относительной скорости зависит от , и одинаковый угол поворота для двух разных звезд в поле одного объекта возможен, если для их траекторий
Следовательно,
Итак, минимальное расстояние от траектории второй звезды до объекта равнялось а.е.
ОТВЕТЫ: радиус указанной темной звезды должен удовлетворять требованию , и для массы, равной массе Солнца, численное значение максимального радиуса
масса невидимого компаньона в наблюдаемой двойной системе при с точностью лучше ; в общем случае - не менее , и однозначно определяется по массе видимой звезды из уравнения
минимальное расстояние от траектории второй звезды до объекта равнялось а.е., или примерно млрд км.
Комментарий: Некоторые участники считали, что расстояние в вопросе отсчитывалось от поверхности звезды. В этом случае при правильном решении получается, что
Тогда км. Такие решения тоже засчитывались как правильные. В части ряд участников получили правильный ответ из неправильных уравнений (например, считая радиус кривизны траектории в перицентре равным расстоянию до невидимого объекта), или «в один шаг» из правильной, но «взятой в готовом виде» формулы (например, из выражения для угла поворота или эксцентриситета гиперболы через скорость на бесконечности и расстояние от невидимого объекта до перицентра). Решения первого типа считались неправильными, а решения второго типа - неполными (в зависимости от содержания решения за часть выставлялось от до баллов), так как подобные решения сложно считать «полными и аргументированными». Аналогично и в других задачах использование «готовых формул» без решения, независимо от источника этих формул, не считалось решением.
Получено требование
Найдено, что км
Получено уравнение, выражающее массу невидимого компаньона только через массу видимой звезды и известные величины
Показано, что , или получен ответ для
Проведен анализ зависимости или найдено правильно хотя бы одно значение для порядка или много больше
Доказано (любым способом - анализ размерностей, соображения подобия, решение уравнений движения, через законы сохранения и т.д.), что угол поворота в поле массивного объекта можно выразить как функцию от
Выведено соотношение
Получен правильный численный ответ в п. ( а.е.)