Неожиданный подарок
( баллов): Как-то, еще во время учебы, Эндрю было очень важно покинуть школу на некоторое время. Но в это время он должен был выполнять лабораторную работу по изучению эффекта застоя (состоящего в превышении на величину максимальной величины силы трения покоя над силой трения скольжения). В работе требовалось изучить движение бруска массой . Из теоретического введения было известно, что величина силы трения бруска практически перестает зависеть от его скорости относительно поверхности только при превышении некоторой величины скорости (именно эта неизменная величина и считается величиной силой трения скольжения для этого бруска). При сила трения убывает линейно с ростом скорости. В эксперименте нужно было слегка подтолкнуть брусок и затем тянуть его по горизонтальной поверхности, прикрепив к легкой практически нерастяжимой нити, поддерживая силу натяжения нити неизменной и с высокой точностью равной максимальной величине силы трения покоя. Затем на основе наблюдения за изменением скорости и ускорения бруска нужно было определить и . Измерения требовались очень аккуратные и занимали немало времени, но, придя в лабораторию, Эндрю обнаружил пакет с запиской и микрочипом. Из записки он узнал, что наблюдения уже выполнил он сам в другой реальности, а на микрочипе есть оцифрованное видео движения бруска. Также было сообщено, что сила сопротивления воздуха для бруска с достаточной точностью пропорциональна его скорости. В таблицах приведены данные с микрочипа, которые использовал студент Харлан - зависимости от времени скорости центра масс бруска (за все время наблюдений) и его ускорения (на наиболее важном интервале времени). Определите по этим данным , и коэффициент пропорциональности между действующей на брусок силой сопротивления воздуха и его скоростью (движения воздуха при съемках видео отсутствовали).
Проверьте, насколько точны Ваши выводы на примере определения .
Возможное решение: Движение бруска нужно разбить на две фазы: при скорости менее для описания величины силы трения можно, в соответствии с условием, использовать выражение
а при сила трения постоянна:
Запишем уравнение движения в первой фазе с учетом силы сопротивления воздуха:
Как видно, производная функции пропорциональна самой функции с коэффициентом
и ясно, что это экспоненциальная функция. Обозначив малую начальную скорость бруска после того, как его «слегка подтолкнули» , находим, что скорость изменяется по закону
Ускорение на этой стадии тоже растет экспоненциально, причем
Из таблицы видно, что ускорение растет до момента времени , и отношение скорости и ускорения в этой точке дает оценку для :
Таким образом,
а также
На второй фазе
Как видно, скорость продолжает расти, пока
а ускорение уже убывает, что соответствует данным наблюдений. Поскольку у нас есть только одна «общая» точка зависимостей скорости и ускорения от времени, мы не можем из данных найти коэффициенты линейной связи ускорения и скорости, и нам лучше обратить внимание, что на «больших» временная скорость бруска должна стремиться к установившемуся значению
Из таблицы видно, что скорость действительно приближается к значению . Из двух полученных уравнений находим, что
Проведем оценку точности результатов. Для этого отметим, что, если в уравнении движения на второй фазе использовать подстановку , то оно превратится в уравнение
Это означает, что мы снова мы получаем уравнение для экспоненциальной функции, так что
С учетом условия приходим к закону изменения скорости на второй стадии в виде
Сравним полученную зависимость с экспериментальными данными:
Эти значения отличаются от экспериментальных не более чем на единицу последнего разряда (да и то только в одной точке!), так что на самом деле нам необычайно повезло: точность результата не менее точности данных, а на большую точность рассчитывать было нельзя.
Ответы: , , , точность не ниже точности данных.
Используется правильное описание силы трения на обеих фазах движения
Правильно решено уравнение движения на первой фазе
Указан момент времени
Правильно найдено
Получена верная связь и
Указано на существование на второй фазе установившегося режима
Получено второе (независимое) соотношение для и
Правильно найдены и
Проведен разумный анализ точности результата (само проведение + правильный вывод)