Конечная цепь

Возможное решение:

Заметим, что при напряжениях, меньших В, ток через цепь не течет. Так как через резистор ненулевой ток течет при любом ненулевом напряжении, то это свойство цепи связано со свойствами элемента - именно он имеет некоторое «пороговое» напряжение, ниже которого не пропускает ток. Из этого ясно, что при повышении входного напряжения сначала ток начинает течь только через первое звено , затем через первое и второе, а затем уже - через все три. Поэтому, если рассмотреть «модифицированную» цепь, состоящую из бесконечного числа таких звеньев, то на участке значений входного напряжения, при которых в бесконечной цепи ток еще не затекает в четвертое звено, ВАХ конечной и бесконечной цепей будут совпадать! С другой стороны, бесконечная цепь при «отсечении» одного звена не изменяется, поэтому ее схему можно перерисовать в виде, показанном на рисунке слева (шестиугольником обозначена бесконечная цепь, ВАХ которой при небольших входных напряжениях совпадает с ВАХ, полученной лаборантом).

Если на том же графике, на котором построена эта ВАХ, построить ВАХ резистора (это прямая ), то, суммируя значения сил тока через резистор и через цепь при одинаковых значениях напряжений, мы, в соответствии с законами параллельного соединения, получим ВАХ параллельного соединения резистора и всей схемы (ниже В она совпадает с ВАХ резистора, а выше изображена «фиолетовой» прямой на рисунке справа). Но тогда ВАХ элемента может быть получена из законов последовательного соединения, то есть путем вычитания из величины напряжения на всей цепи величины напряжения на параллельном соединении резистора и цепи при одинаковых значениях силы тока: ниже В ток через элемент равен нулю, а при более высоких значениях напряжения ВАХ элемента дается «синей» ломаной кривой.

Можно «для проверки» посмотреть распределение токов и напряжений, например, при максимальном изученном лаборантом входном напряжении В. Как видно из ВАХ цепи, сила входного тока при этом равна А. По ВАХ элемента находим, что при этом токе напряжение на элементе в первом звене

и поэтому напряжение на резисторе первого звена

а ток через него

Тогда ток через элемент второго звена

и напряжение на этом элементе

Значит,

а

Повторяя рассуждения еще раз, обнаруживаем, что

то есть меньше В, и даже при максимальном использованном лаборантом напряжении ток в бесконечной цепи не затекает дальше третьего звена, то есть ее ВАХ не отличается от ВАХ исследуемой конечной цепи.

Но на самом деле можно было бы обойтись и без этого - согласно информации из условия, на кусочно-линейной ВАХ элемента есть всего два излома вплоть до максимального значения напряжения, а мы уже нашли оба: первая точка излома имеет координаты , а вторая - координаты . Поэтому нам известна вся ВАХ элемента ! В частности, мы легко находим, что при В сила тока через элемент равна А.

Кроме того, поскольку других изломов на ВАХ элемента нет (а на ВАХ резистора их и вовсе не бывает), то новый излом на ВАХ всей цепи появится в тот момент, когда цепь «вспомнит», что она на самом деле отличается от бесконечной. Это произойдет при значении входного напряжения, при превышении которого в бесконечной цепи появится ток, затекающий в четвертое звено (у настоящей конечной схемы его попросту нет). Значит, при этом значении входного напряжения В. Проводя анализ в «обратном» по отношению к примеру выше порядке, находим: так как еще , то А, и В. Далее:

и поэтому

а

Еще одна «итерация» дает

и

Продолжив ВАХ элемента до таких величин силы тока, найдем, что оно достигается при В. Таким образом, входное напряжение для этого состояния схемы

Итак, новый излом на ВАХ цепи возникнет при значении входного напряжения В. Можно отметить замечательную интуицию Федора Симеоновича, который сразу предложил снять ВАХ цепи до напряжения В.

ОТВЕТЫ: первая точка излома имеет координаты , а вторая - координаты ; при В сила тока через элемент равна А; новый излом на ВАХ цепи возникнет при значении входного напряжения В.

Примечание: Альтернативный (алгебраический) возможный подход состоит в том, чтобы строить ВАХ элемента как набор прямых: сначала «нейтральный» участок с нулевым током, который должен продолжаться до первой точки излома - значения В. Затем для следующего линейного участка уравнение ВАХ задается в виде линейной функции, график которой проходит через точку первого излома, то есть . Для этого участка вычислением с произвольным получается уравнение ВАХ цепи выше точки первого излома, и сравнением с наблюдаемой ВАХ определяется . Далее находится точка, с которой возникает рассогласование с наблюдаемой ВАХ, находится вторая точка излома, и записывается уравнение для нового линейного продолжения. В целом этот метод более громоздкий по вычислениям, однако и здесь решение можно существенно упростить, если заметить, что при небольшом превышении порогового напряжения ненулевой ток есть только в первом звене, а затем уже появляется ток во втором звене и так далее. Отметим, что правильное аналитическое выражение для ВАХ элемента имеет вид:

ВАХ нашей (конечной!) цепи с такими элементами описывается следующими выражениями:

При превышении входного напряжения цепи

напряжение на элементе в первом звене превысит максимальную допустимую величину В. Отметим, что в точке второго излома ВАХ цепи коэффициент наклона ВАХ уменьшается менее чем на - «на глаз» этот излом практически незаметен, но он все же есть. У бесконечной цепи никаких новых изломов ВАХ, кроме излома из-за открытия первого элемента , не появилось бы.