Космическое освещение
( балла): На межпланетной станции установили окуляр, направляющий свет на фотоэлемент. Окуляр все время направлен на Солнце (угол его захвата больше углового размера Солнца, видимого с орбиты станции), а сила тока фотоэлемента пропорциональна мощности светового излучения из желто-зеленой части видимого спектра, попадающего в «глазок» окуляра. Запись значений силы тока фотодатчика в зависимости от времени была начата в момент прохождения станцией перигелия своей орбиты (момент времени ), и производилась при определенных положениях станции относительно Солнца. Результаты представлены в таблице. На основании этих результатов определите величину большой и малой полуосей эллиптической орбиты станции (в а.е.). Поглощением света в околосолнечном пространстве пренебрегите.
| , земн. года | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| , мА |
Указание: Используйте изложенные ниже сведения из астрономии и геометрии. Согласно закону Кеплера, планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. Эллипс можно рассматривать как «сплюснутую окружность» - расстояние от центра эллипса до его точек изменяется в пределах , где и называют большой и малой полуосями эллипса (см. рисунок).
Определяющим свойством эллипса как геометрической фигуры является существование двух симметричных точек - фокусов эллипса, расположенных на более длинной оси симметрии. Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов есть величина постоянная для данного эллипса. На эллиптической орбите выделяют точку, в которой тело ближе всего к Солнцу (перигелий ) и точку, в которой оно дальше всего от Солнца (афелий ). Расстояния в Солнечной системе обычно измеряют в астрономических единицах, примерно соответствующих радиусу орбиты Земли, которая мало отличается от окружности: . Согласно закону Кеплера, отношение квадратов периодов обращения небесных тел Солнечной системы равно отношению кубов больших полуосей их орбит:
Максимум мощности электромагнитного излучения Солнца приходится на желто-зеленую часть видимого спектра.
Возможное решение: Если мы пренебрегаем поглощением света в околосолнечном пространстве, то мощность излучения, попадающего в окуляр, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца (энергия излучения по мере удаления от источника распределяется по поверхности растущей сферы, площадь которой растет пропорционально квадрату расстояния). Следовательно, так же должна вести себя и сила тока фотодатчика. Поэтому ясно, что после прохождения перигелия, где ток фотодатчика достигает максимума, он должен убывать до достижения станцией афелия, где ток фотодатчика убывает, а затем снова начать расти.
В таблице минимальное значение силы тока фотодатчика соответствует времени года. Если обратить внимание, что симметрично по времени от этого значения расположены положения, которым соответствуют два одинаковых значения силы тока фотодатчика (то есть два одинаковых расстояния до Солнца), то становится ясно, что это значение соответствует именно афелию. Следовательно, к этому моменту времени прошла половина периода обращения станции, и поэтому период обращения равен лет.
Применим закон Кеплера к станции и Земле: куб отношения больших полуосей их орбит равен
и поэтому (орбита Земли практически круговая, так что большая полуось земной орбиты практически равна ). Кроме того, из отношения сил токов фотодатчика в перигелии и афелии находим отношение расстояний от Солнца до афелия и перигелия:
Кроме того, из геометрических свойств эллипса следует, что
Следовательно, (заодно можно найти, что , а , то есть орбита станции целиком лежит вне орбиты Земли).
Вообще из данных таблицы можно получить очень много интересных сведений о движении станции по орбите - практически все, что угодно. Попробуйте, например, вычислить минимальную и максимальную величину скорости станции на орбите, используя информацию, что среднее значение величины скорости движения Земли на ее орбите равно . Если Вы все сделаете правильно, то максимальная скорость станции окажется почти точно равна (с отклонением менее ошибки, обусловленной неточностями используемых данных).
Ответы: , .
Примечание: На самом деле можно использовать для определения соотношение расстояний в разных точках (а не только ), но такой путь значительно менее удобен.
Установлено, что мощность излучения, попадающего в окуляр, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца
Указано, что это относится и к силе тока фотодатчика
По данным таблицы найдено () и обосновано (), что года соответствует афелию
Найдено, что период обращения станции по орбите равен лет
Правильно найдено отношение
Правильно найдена длина большой полуоси орбиты
Правильно найдена длина малой полуоси орбиты