Треугольный КПД
( баллов): В некотором конструкторском бюро создали серию тепловых машин, рабочим телом которых было постоянное количество одного и того же идеального газа. Диаграммы циклов всех машин в координатах давление-объем имели вид равнобедренного треугольника с основанием, параллельным оси . Если выбрать в качестве масштабных единиц на осях диаграммы значения объема и давления в состоянии (см. рисунок), то угол при основании всех треугольников окажется одинаков, и различаться циклы разных машин будут только отношением
Известно также, что этот угол выбран так, что в каждом из трех процессов, отвечающих сторонам треугольника, газ только получает или только отдает тепло (для всех используемых циклов). В таблице даны два значения КПД для циклов с разными значениями переменной :
| КПД |
Определите количество степеней свободы молекулы используемого газа и величину угла . Найдите КПД цикла при .
Возможное решение: Начнем с определения параметров состояний. Как видно из определения нашей переменной,
Поскольку треугольник равнобедренный,
и поэтому
Так как величина угла при основании всегда одна и та же, то для всех циклов
Тогда
Работа в этом цикле равна
Ясно, что в процессе газ только получает тепло, а в процессе — только отдает. В процессе может происходить изменение направления теплообмена, то есть именно на этом участке может находиться точка касания адиабаты. В соответствии с условием угол выбран так, чтобы такая точка не была внутренней для отрезка . Значит, если такая точка и есть, то это одна из крайних точек — или . Рассмотрим два возможных варианта: и .
а) В случае газ получает тепло только в процессе , и количество теплоты нагревателя
(здесь — число степеней свободы молекулы газа). Значит, в этом случае КПД цикла равен
Таким образом, если в наших циклах , то значения КПД должны удовлетворять соотношению
Проверим: на самом деле
то есть этот вариант не подходит.
б) Остается . Тогда газ отдает тепло только в процессе , и количество теплоты холодильника
Используем выражения для параметров, полученные в начале, и получим:
Значит, в этом случае
Для исследования этой зависимости ее удобно линеаризировать. Как видно, обратная величина КПД есть линейная функция обратной величины :
По двум точкам находим коэффициенты этой зависимости:
и находим число степеней свободы молекулы газа
(то есть это двухатомный идеальный газ) и угол
Таким образом, величина угла
При КПД равен
Проверим то, что в процессе нет состояний, в которых происходит изменение направления теплообмена. Запишем уравнение этого процесса в виде
и будем искать точку касания с адиабатой из условия равенства нулю бесконечно малого количества теплоты, которым газ обменялся с окружающими телами в окрестности этой точки:
Мы обнаруживаем, что такая точка есть на отрезке , и в ней объем газа . Значит, это точка — крайняя точка процесса, и условие постоянства направления теплообмена для выполнено.
Ответы: , , .
Правильно выражены и через и
Правильно выражено через , и
Получена формула для работы, эквивалентная
Правильно проведен анализ возможности
Для получена правильная формула для КПД через , и
Правильно найдено
Правильно найдено
Правильно найден КПД при
Проведена проверка постоянства направления теплообмена в процессе