Абсолютно неупругий удар
Два тонкостенных кольца изготовлены из одного материала, имеют одинаковые толщину и высоту, но разные радиусы: . Они скользили, не вращаясь, по гладкой горизонтальной поверхности. Величина скорости второго кольца была в два раза больше, чем у первого, а их направления были взаимно перпендикулярны. Кольца были запущены таким образом, что произошел удар, в момент начала которого линия движения центра первого кольца проходила по касательной к поверхности второго (см. рисунок). Боковые поверхности колец были обработаны специальным составом, благодаря которому в момент удара кольца мгновенно «склеились» и после удара двигались как одно целое. Во сколько раз после удара величина скорости центра масс склеившихся колец будет отличаться от ? В каком направлении стал двигаться этот центр масс? Какая часть начальной кинетической энергии колец (в процентах) перешла в тепло в результате этого соударения?
Возможное решение:
Пусть масса кольца равна . Тогда, конечно, масса кольца равна . Суммарный импульс колец остается постоянным. Поэтому скорость центра масс склеившихся колец определяется из уравнения
Таким образом, величина скорости центра масс склеившихся колец после удара равна . Направлена эта скорость под углом к оси . Перейдем теперь в инерциальную систему отсчета, связанную с этим центром масс. На рисунке показано положение колец и их скорости в этой СО в момент «начала удара» (начало координат совмещено с ЦМ, ось направлена по скорости , а ось - по скорости ). Линия, соединяющая центры колец, наклонена к оси под углом , причем, как видно из рисунка, . Центр масс колец находится на расстоянии от центра кольца (и на расстоянии от центра кольца ).
Скорость центров колец до удара в этой ИСО равны и . Как видно, модули этих скоростей и , и они направлены вдоль линии, составляющей с осью угол . Угол между этими двумя линиями .
До удара кольца не вращаются, и их суммарная кинетическая энергия - это энергия поступательных движений
После удара ЦМ составного тела покоится, и кинетическая энергия системы - энергия вращательного движения. Момент импульса системы шайб до удара
Здесь учтено, что . Момент импульса в этом ударе сохраняется, но после удара он связан именно с вращением образовавшегося «составного» тела: . Момент инерции этого тела
Следовательно,
Кинетическая энергия после удара
Выделившееся тепло равно убыли механической энергии и не зависит от выбора ИСО
а начальная энергия в исходной ИСО . В итоге приходим к ответу на последний вопрос:
Ответы: величина скорости ЦМ практически равна начальной скорости тела , она направлена под углом к оси , доля энергии, преобразованной в тепло .
Правильно описано движение ЦМ системы после удара
1.1 Правильно записан ЗСИ для неупругого соударения колец
1.2 Доказано, что
1.3 Найдено значение угла
Правильно найдена доля энергии, перешедшая в тепло при ударе
2.1 Записана правильная система уравнений, из которых можно определить угловую скорость вращения «составного» тела
2.2 Правильно найдены аналитическое выражение или числовое значение
2.3 Получена правильная формула и численное значение