Робофест 2024, Отбор, 10 класс, задача 2
В вертикальном цилиндре высотой м находится горизонтальный тонкий массивный поршень, который делит цилиндр на две части и может свободно скользить по нему вверх и вниз. В цилиндр, по обе стороны от поршня помещены одинаковые количества воздуха, который можно считать идеальным газом.
- Определите отношение давлений в нижней и верхней частях цилиндра, если поршень располагается на высоте см от дна цилиндра, а температура в обеих частях цилиндра одинакова. Ответ запишите с точностью до целого значения.
На этой высоте ( см) поршень располагается при температуре содержимого цилиндра К. Чтобы поршень поднялся на см от этого уровня, температуру нужно увеличить до К.
-
Какой должна стать температура содержимого цилиндра, чтобы поршень поднялся до высоты см над дном цилиндра? Ответ запишите в К с точностью до целого значения.
-
На каком расстоянии от дна будет располагаться поршень при температуре К, если цилиндр перевести в горизонтальное положение? Ответ запишите в см с точностью до целого значения.
Возможное решение. В соответствии с уравнением Менделеева—Клапейрона при одинаковой температуре и одинаковом количестве вещества давление обратно пропорционально объему, так что в указанном положении давление в нижней части будет в раза больше, чем давление в верхней части.
Поршень находится в равновесии, если разность сил давления снизу и сверху равна силе тяжести, действующей на поршень:
Согласно уравнению Менделеева—Клапейрона, для нижней половины цилиндра , а для верхней . Введем переменную . Тогда уравнение равновесия можно переписать в виде
Поскольку при температуре имеем , то
В соответствии с этим для любой температуры
Значит, соответствует К. При горизонтальном положении цилиндра давления по разные стороны от поршня должны выровняться, поэтому поршень будет располагаться точно посередине цилиндра, на расстоянии см от дна.
Ответы: ; К; см.
— балла.
— балла; или — балл.
— балла.