Неоднородность в призме
Экспериментатор Глюк проводит оптические исследования со сплошной призмой, поперечное сечение которой представляет собой прямоугольный треугольник с катетами и . Все грани призмы либо параллельны, либо перпендикулярны плоскости рисунка. Если ввести прямоугольную систему координат с началом в точке так, как показано на рисунке, то показатель преломления материала призмы зависит только от координаты по закону:
Глюк решил целиком осветить грань призмы, содержащую и перпендикулярную плоскости рисунка, перпендикулярным ей пучком света. Дно призмы, содержащее и перпендикулярное плоскости рисунка, покрыто веществом, полностью поглощающим попавший на неё свет. Призма расположена в воздухе, показатель преломления которого можно считать равным единице. Далее рассматривайте только лучи, попадающие внутрь призмы через точки, расположенные на стороне призмы.
1. Рассмотрим луч, попадающий в призму в точке с координатой . Найдите уравнение траектории данного луча внутри призмы до попадания на стороны и призмы. Значения , при которых полученное уравнение траектории является применимым, находить не обязательно.
2. При каких значениях угла лучи света попадают во все точки стороны сечения призмы?
3. При каких значениях угла все лучи, достигнувшие стороны сечения призмы, преломляются и проходят в воздух?
1. Поскольку пучок света направлен по нормали к грани призмы, на которую он падает, на входе в призму пучок не преломляется. Исследуем траектории лучей внутри призмы. Пусть — угол между направлением распространения луча и осью , а — координата точки входа луча в призму. При этом угол падения на границу раздела сред равен , поэтому из закона Снелла следует:
Первое решение.
Обратим внимание на соотношение:
Проведём через некоторую точку траектории луча линию, перпендикулярную направлению его распространения, до точки такой, что .
Обратим внимание, что расстояние между точками и является постоянной величиной, равной . Поскольку свет распространяется в направлении, перпендикулярном , а и , положение точки является постоянным, поскольку её смещение должно быть одновременно перпендикулярно и оси , что невозможно. Значит, траектория луча света до попадания на стороны и сечения призмы представляет собой окружность с центром в точке . Обратим внимание, что сразу после преломления все лучи света распространяются вдоль оси , а значит для каждого луча центр окружности лежит в точке такой, что и . Окончательно:
Второе решение.
Продифференцируем выражение, полученное из закона Снелла:
Изменения координат и можно связать с помощью угла :
Найдём изменение координаты при изменении угла на величину :
Величине соответствует . Тогда получим:
Теперь получим выражение, связывающее и :
откуда
Третье решение.
Получим зависимость для траектории луча света. Для этого избавимся от угла :
Поскольку ,
Учитывая, что , получим:
Отсюда
Четвёртое решение.
Для радиуса кривизны траектории луча имеем:
где — элемент пути, пройденного лучом. Но , откуда
Продифференцируем выражение, полученное из закона Снелла:
Таким образом, радиус кривизны траектории каждого луча остаётся постоянным, т. е. траектория луча света до попадания на стороны и сечения призмы представляет собой дугу окружности радиусом . Обратим внимание, что сразу после преломления все лучи света распространяются вдоль оси , а значит для каждого луча центр окружности лежит в точке такой, что и . Окончательно:
2. Из решения первого пункта следует, что траектория любого луча внутри призмы до попадания на и сечения призмы является дугой окружности, лежащей в плоскости рисунка, а центр этой окружности расположен в точке такой, что , . Обратим внимание, что радиус окружности уменьшается с увеличением координаты .
Расстояние от точки до точки пересечения дуги окружности с уменьшается вплоть до момента, пока дуга окружности не коснётся рассматриваемой грани. При дальнейшем увеличении координаты дуги окружности не будут пересекать . Таким образом, лучи достигнут всех точек при условии отсутствия точек касания с дугами окружностей, а значит угол не должен быть острым. Поскольку треугольник является равнобедренным, имеем:
откуда
3. Обратим внимание, что при увеличении координаты угол падения лучей на будет увеличиваться, как и показатель преломления вещества призмы. Тогда условие, при котором все лучи, достигнувшие , попадают в воздух, состоит в том, что лучи, достигнувшие её вблизи точки , не испытают полного отражения.
Поскольку исходно такие лучи падают под углом к и поворачивают на угол при движении по дуге окружности, угол падения луча в момент достижения равен . Тогда имеем:
откуда