Две половинки
На главной оптической оси (ГОО) тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием находится точечный монохроматический источник света с длиной волны . Известно, что диаметр линзы равен , причём
Линзу разрезают на две одинаковые половинки (полулинзы), которые смещают параллельно исходным положениям (см. рис. 4) вдоль ГОО. Одна половинка (верхняя) оказывается на расстоянии от источника, а другая (нижняя) — на расстоянии .
- Найдите, на каких расстояниях и от источника находятся его изображения в верхней и нижней половинках линзы.
Перпендикулярно ГОО размещают экран на некотором расстоянии от источника.
-
Опишите картину, которая наблюдается на экране (изобразите её схематически на рисунке и определите величины существенных характеристик) при и .
-
При каком расстоянии на экране наблюдается изображение в форме круга?
Экран закрепляют на расстоянии от источника.
-
Опишите качественно и объясните картину, которая наблюдается на экране, указав все характерные детали.
-
Пройдём из точки пересечения экрана ГОО вверх, до края наблюдаемой картины. Определите, сколько на этом пути окажется интервалов, на которых освещённость экрана будет возрастать? Для расчёта используйте значения: , , .
Считайте, что исходная линза была идеальной: она обладала свойством таутохронизма (лучи от одного источника, прошедшие через разные её точки, достигают новой точки пересечения за одинаковое время) и при прохождении через её фокус фаза световой волны скачком изменялась на .
Все лучи, не попадающие непосредственно от источника на полулинзы, обрезаются диафрагмами.
Каждая из половинок линзы будет давать изображение, расстояние до которого можно найти по формуле тонкой линзы. Пусть — искомое, тогда из:
и получим
Расстояния и от источника до его изображений в верхней и нижней половинках линзы равны:
При и пучки идут по разные стороны от ГОО, поэтому на экране возникнет равномерно освещённое изображение в виде двух полукругов разного радиуса, величина которых может быть получена из рассмотрения подобных треугольников. В обоих случаях радиус нижнего полукруга меньше, чем у верхнего: для отношение радиусов равно
а при
На рисунке 2 полукруги показаны схематически.
При перемещении экрана от расстояния вправо несложно заметить, что в некотором положении радиусы полукругов совпадут в промежутке от до . Искомое расстояние находим из пропорции, отражающей равенства двух коэффициентов подобия треугольников:
Искомое расстояние:
Если закрепить экран на расстоянии от источника, то пучки света от полулинз точно накладываются друг на друга в верхней полуплоскости экрана.
Изображения источника в положениях и можно рассматривать как два когерентных вторичных источника и , фазы которых в точке отрезка между ними на ГОО отличаются на из-за прохождения световой волны через фокус в .
Следовательно, в центре полукруга наблюдается тёмное пятно (рисунок 3). При движении от центра картины к краю разность фаз источников будет изменяться, поэтому возникнет чередование светлых и тёмных полуколец.
Радиус полукруга можно найти из подобия треугольников:
Назовём вершину полукруга точкой , а его центр — точкой и рассмотрим сечение области пересечения световых лучей от половинок линзы плоскостью, проходящей через оптическую ось перпендикулярно разрезу (рисунок 4). Расстояния от изображений источника до центра картины равны и .
Как уже отмечалось, в точке разность фаз между лучами, пришедшими через нижнюю и верхнюю половину линзы, равна . Эта разность увеличивается на при переходе к каждой следующей тёмной полосе.
Разность фаз между этими лучами на краю картины — в точке — определяется разностью хода лучей:
С другой стороны, она изменилась по сравнению с на , где — число светлых полос в картине, на каждой из которых происходит рост и убывание наблюдаемой освещённости. Ясно, что это и есть ответ на вопрос 5.
Значит,
По рисунку 4, применяя теорему Пифагора, выражаем расстояния:
Для данных по условию и, с учётом формулы , находим:
Таким образом, искомое значение:
Для заданных числовых значений получаем, что
Примечание. Отметим, что вычисление без приближения малости отклонения от оси даёт , то есть в принципе можно считать, что на краю картины есть ещё один — правда, очень тонкий — интервал значений радиуса, на котором освещённость будет возрастать. Тогда ответом на вопрос 5 будет . Такой ответ (при наличии соответствующего объяснения) тоже следует считать правильным. Хотя на практике «увидеть» эту полоску будет очень сложно.