Ускоряющее зеркало
Экспериментатор Глюк держит в руках точечный источник света , расположенный под горизонтальным плоским зеркалом, движущемся поступательно с постоянным вертикальным ускорением. Глюк бросил источник света под углом к горизонту и стал производить съёмку с помощью специальной видеокамеры. Проанализировав видеофрагмент в покадровом режиме, Глюк построил на листе масштабно-координатной бумаги участки траекторий источника света и его изображения в зеркале .
Пользуясь приведённым рисунком, определите величину и направление ускорения зеркала.
Ускорение свободного падения . Сопротивлением воздуха можно пренебречь, скорость света считайте бесконечной.
В бланках для оформления решений приведён рисунок с траекториями источника и изображения в увеличенном масштабе. Необходимые построения выполняйте на этом листе-бланке.
Обратите внимание, что методы нахождения величин, необходимых для решения, будут оцениваться в соответствии с точностью предложенного метода.
Авторы задачи: Ольга Инишева, Андрей Уймин.
Решение.
Плоскость зеркала горизонтальна, поэтому источник света и его изображение всегда расположены на одной вертикальной прямой. Тогда, поскольку проекция скорости источника на горизонтальную ось остаётся постоянной, проекция скорости изображения на соответствующую ось .
В связанной с зеркалом системе отсчёта ускорение источника равняется:
В системе отсчёта зеркала траектории источника и его изображения симметричны относительно зеркала, значит для ускорения изображения источника относительно зеркала выполняется:
Для ускорения изображения источника в лабораторной системе отсчёта находим:
Далее будем считать, что ускорение зеркала направлено вертикально вверх. Рассмотрим различные варианты определения ускорения.
Первый способ:
Рассмотрим траекторию источника между точками, расположенными на одной горизонтали. Между ними он движется в течение времени , равного:
где — вертикальная компонента скорости источника в указанных положениях. Тогда его горизонтальное перемещение за данное время равняется:
Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками, расположенными на одной горизонтали, получим:
где — вертикальная компонента скорости изображения источника в указанных положениях. Здесь мы учли равенство . Разделив уравнения друг на друга, получим:
Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения и , которым соответствуют точки, расположенные на левом крае рисунка. Соответствующее отношение вертикальных компонент скоростей измерим как отношение угловых коэффициентов касательных. Получим:
Таким образом:
ускорение направлено вниз.
Второй способ:
Введём прямоугольную систему координат . Определим координаты вершин обеих траекторий, для этого проведём горизонтальные прямые и построим к ним серединные перпендикуляры. Координаты вершины для траектории источника (на рисунке обозначено точкой ) определяются однозначно , . Координаты вершины траектории изображения источника (точка ) по оси ординаты определяются хуже, поэтому возьмём приближенное значение, таким образом , .
Рассмотрим движение источника света между точками и . Между этими двумя точками источник двигался в течение времени , тогда его горизонтальное и вертикальное перемещения:
Время движения из формулы для горизонтального перемещения: . Тогда:
Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками и , с учетом равенства горизонтальных проекций скоростей , получим:
Разделим получившиеся выражения для ускорений друг на друга:
Необходимые значения в условных единицах: , , и найдены с помощью масштабно-координатной сетки.
Отличие от значения, полученного первым способом, обуславливается погрешностью определения координаты вершины траектории изображения источника.
ускорение направлено вниз.
Третий способ:
Предположим, что ускорение зеркала направлено вниз. Проведём касательные к обеим траекториям в начальный момент времени и построим векторные треугольники перемещений для источника и его изображения. Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения и , где и — скорости источника и его изображения. Векторные треугольники будем строить таким образом, чтобы горизонтальные перемещения источника и изображения были равны. Таким образом время будет одинаковым для обоих случаев.
Тогда отношение полных ускорений будет равно отношению длин соответствующих сторон двух векторных треугольников перемещений:
где — это длина в условных единицах вертикальной стороны треугольника перемещений источника, а — вертикальной стороны треугольника перемещений изображения источника. Тогда:
ускорение направлено вниз.
Четвёртый способ:
В любой момент времени точка, принадлежащая плоскости зеркала, находится на середине вертикального отрезка, соединяющего точки, принадлежащие траекториям источника и изображения. Воспользовавшись этим, мы можем восстановить траекторию точки зеркала.
Ускорение зеркала относительно земли равно . Из рисунка видно, что оно направлено вертикально вниз. Зная, что ускорение источника равно , и определив координаты вершин парабол, либо характерные расстояния по вертикали и горизонтали, мы можем найти величину ускорения, воспользовавшись любым из вышеописанных способов решения.
ускорение направлено вниз.
Ответ. , ускорение направлено вниз.