Ап стену
На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии от стены покоится шайба массой . На нее налетает вторая такая же шайба, движущаяся перпендикулярно стене со скоростью (рис. 3, вид сверху).
Известно, что удары шайб о стену упругие, а при центральном столкновении самих шайб рассеивается доля () их суммарной кинетической энергии в системе отсчета их центра масс. Постройте качественный график зависимости расстояния между первой шайбой и стеной от времени , отсчитываемого от момента первого столкновения шайб. Отметьте на нем характерные точки.
Решение.
В решении идет речь о проекциях скоростей на ось , направленную к стене.
Первое столкновение шайб:
Скорость центра масс:
а проекции скоростей шайб в системе отсчета центра масс (СЦМ) равны и . Запишем энергию системы после столкновения в СЦМ, — скорости после соударения:
Обозначим:
Возвращаясь в лабораторную СО, получим:
После удара, первая шайба будет двигаться в сторону стены, упруго от неё отразится и полетит обратно со скоростью
Второе столкновение шайб:
Первая движется со скоростью , а вторая ей навстречу с . Скорость центра масс
а скорости шайб в СЦМ: и . После удара доля энергии рассеивается и скорости в СЦМ становятся равными и . Возвращаясь в лабораторную СО, получим, что скорость второй шайбы станет равна
а первой
следовательно первая шайба остановится.
Три этапа для первой шайбы:
1. движение к стене со скоростью ;
2. движение от стены со скоростью ;
3. покой на расстоянии от стены.
Найдем времена движения на двух первых участках. Время от первого соударения, до удара о стену:
За это время вторая шайба проходит расстояние:
и, следовательно, расстояние от второй шайбы до стены, или расстояние между шайбами после удара первой шайбы о стенку, равно:
Шайбы сближаются со скоростью
Второе столкновение происходит через:
К этому результату можно прийти проще: По ЗСИ
Тогда суммарное перемещение двух шайб между ударами , и
Первая шайба удалится от стены на расстояние:
Там она и остановится. График имеет вид:
Найдена скорость центра масс системы до столкновения первой шайбы со стеной
Рассчитаны скорости шайб в системе отсчёта центра масс (СЦМ) до первого соударения шайб
Записана энергия системы в СЦМ после первого соударения шайб
Рассчитаны скорости шайб в системе отсчета центра масс после первого соударения
Найдена скорость первой шайбы после первого соударения шайб в лабораторной СО
Найдена скорость второй шайбы после первого соударения шайб в лабораторной СО
Найдена скорость первой шайбы после упругого столкновения со стеной
Найдена скорость центра масс системы после столкновения первой шайбы со стеной
Рассчитаны скорости шайб в системе отсчета центра масс после столкновения первой шайбы со стеной
Рассчитаны скорости шайб в системе отсчета центра масс после второго соударения
Найдена скорость первой шайбы в лабораторной СО (учтён факт её остановки) после второго соударения шайб
Найдена скорость второй шайбы в лабораторной СО после второго соударения шайб (либо учтён факт, что она удаляется от стены)
Рассчитано время
Рассчитано время
Рассчитано расстояние
при
при
при
Подписаны оси (если график неверный, пункт не оценивается)